3.下面算式中的每一個(gè)字母代表一個(gè)數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的
字母代表不同的數(shù)字。問它們各代表什么數(shù)字時(shí)，算式成立？
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4.一個(gè)六位數(shù) ABCDEF，各位上的數(shù)字均不相等，它乘以 3、乘以 5 分別是：
這個(gè)六位數(shù)是____。
七、三階幻方
在 3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重復(fù)又不遺漏地填上 1～9 這 9 個(gè)連
續(xù)的自然數(shù)，使每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)自然數(shù)的和均相等，通常這樣的圖
形叫做三階幻方。
如果是在 4×4（四行四列）的方格中進(jìn)行填數(shù)，就要不重不漏地在 4×4 方格中
填上 16 個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，并且使方格的每行、每列及每條對(duì)角線上的四個(gè)自然數(shù)之和
均相等，這樣填出的圖形就叫做四階幻方。
幻方實(shí)際上就是一種填數(shù)游戲，它不僅限于三階、四階，還有五階，六階，……，
直到任意階。
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一般地，在 n×n（n 行 n 列）的方格里，既不重復(fù)也不遺漏地填上 n×n 個(gè)連續(xù)的
自然數(shù)（注意，這 n×n 個(gè)連續(xù)自然數(shù)不一定非要從 1 開始），每個(gè)數(shù)占 1 格，并使排
在每一行、每一列以及每條對(duì)角線上的 n 個(gè)自然數(shù)的和都相等，我們把這個(gè)相等的和
叫做幻和，n 叫做階，這樣排成的數(shù)的圖形叫做 n 階幻方。
這里我們主要學(xué)習(xí)三階幻方。
例 1 用 1～9 這九個(gè)數(shù)編排一個(gè)三階幻方。
分析與解 先用 a，b，c，…，i 分別填入圖 1 的九個(gè)空格內(nèi)，以代表應(yīng)填的數(shù)，如圖
2。
（1）審題首先我們應(yīng)知道幻和是多少才好進(jìn)行填數(shù)。同時(shí)我們可以看到圖 2 中 e
是一個(gè)很關(guān)鍵的數(shù)，因?yàn)樗謩e要與第二行、第二列以及兩條對(duì)角線上的另外兩個(gè)數(shù)
進(jìn)行求和運(yùn)算，結(jié)果都等于幻和；其次是三階幻方中四個(gè)角上的數(shù)：a，c，g，i，它
們各自都要參加一行、一列及一條對(duì)角線的求和運(yùn)算。如果 e 以及四個(gè)角上的數(shù)被確
定之后，其他的數(shù)字便可以根據(jù)幻和是多少填寫出來了。
（2）求幻和
幻和=（1+2+3＋4＋5+6＋7＋8＋9）÷3
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=45÷3
=15
（3）選擇解題突破口
突破口顯然是 e，在圖 2 中，
因?yàn)?nbsp;a＋e+i=b＋e＋h=c＋e＋g=d＋e＋f=15，
所以（a＋e＋i）+（b+e+h）＋（c＋e+g）＋（d+e＋f）
=15+15＋15＋15=60，
也就是：（a＋b+c+d＋e＋f+g＋h＋i）＋3×e=60。
因?yàn)?nbsp;a＋b＋c＋d＋e＋f＋g＋h＋i=45，
所以 45+3×e=60
所以 3×e=60-45
e=5
也就是說，圖 1 中的中心方格中應(yīng)填 5，請(qǐng)注意，這個(gè)數(shù)正好是 1～9 這九個(gè)數(shù)中
正中間的數(shù)。
（4）四個(gè)角上的數(shù) a，c，g，i 的特點(diǎn)
先從 a 開始討論：a 是奇數(shù)還是偶數(shù)。
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如果 a 為奇數(shù)，因?yàn)?nbsp;a＋i=10，所以 i 也是奇數(shù)。因?yàn)?nbsp;a＋d＋g=15，所以 d 與 g
同是奇數(shù)或同是偶數(shù)。分兩種情況：
①當(dāng) d、g 都是奇數(shù)時(shí)，因?yàn)?nbsp;d＋e＋f=15，g＋h＋i=15，其中 e，i 都是奇數(shù)，所
以 f，h 也只能是奇數(shù)。這樣在圖 1 中應(yīng)填的數(shù)有 a，d，e，f，g，h，i 這七個(gè)奇數(shù)，
而 1～9 這九個(gè)數(shù)中只有五個(gè)奇數(shù)，矛盾。說明 d，g 不可能為奇數(shù)。
②當(dāng) d，g 為偶數(shù)時(shí)，因?yàn)?nbsp;d＋f=10，g＋h＋i=15，c＋g=10，因?yàn)?nbsp;i 為奇數(shù)，所
以 f，h，c 只能是偶數(shù)，這樣就有 c，d，f，g，h 五個(gè)偶數(shù)，而 1～9 這九個(gè)數(shù)中只有
四個(gè)偶數(shù)，矛盾。說明 d，g 都是偶數(shù)也不行。
所以 a 不能是奇數(shù)，那么只能是偶數(shù)，于是由 a+i=10 知，i 也是偶數(shù)。
用同樣的方法可以得到 c，g 也只能是偶數(shù)。也就是說，圖 1 中四個(gè)角上的數(shù)都應(yīng)
填偶數(shù)。
（5）試驗(yàn)填數(shù)排出幻方
因?yàn)?nbsp;e=5，a，c，g，i 是偶數(shù)，所以 a 的范圍有 2，4，6，8 四個(gè)數(shù)，根據(jù)幻和等
于 15 進(jìn)行試驗(yàn)：
當(dāng) a=2 時(shí)，i=8，c 可填 4，6。若 c=4，則有 g=6，b=9，d=7，f=3，h=1；若 c=6，
則有 g=4，b=7，d=9，f=1，h=3，這樣填出兩個(gè)三階幻方。
當(dāng) a=4，6，8 時(shí)，請(qǐng)同學(xué)們自己用上面的方法進(jìn)行試驗(yàn)填數(shù)，作為練習(xí)。
用 1～9 這九個(gè)數(shù)編排的三階幻方有八個(gè)，如圖 3 所示。
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說明：在上面圖形中給出的用 1～9 這九個(gè)數(shù)編排的八個(gè)三階幻方中的任何一個(gè)，
都可以對(duì)它上面的數(shù)字進(jìn)行適當(dāng)?shù)膶?duì)調(diào)與旋轉(zhuǎn)，從而得到其余七個(gè)圖形。因此，我們
把這八個(gè)圖形給出的八個(gè)幻方算作是同一種三階幻方。
例 2 如下圖的 3×3 的陣列中填入了 1～9 的自然數(shù)，構(gòu)成了大家熟知的三階幻方。現(xiàn)
在另有一個(gè) 3×3 的陣列，請(qǐng)選擇九個(gè)不同的自然數(shù)填入九個(gè)方格中，使得其中最大者
為 20，最小者大于 5，且每一橫行、每一豎行及每條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和都相等。
分析與解 所給的三階幻方中填入的是 1～9 這九個(gè)不同的自然數(shù)，其中最大的為 9，
最小的為 1，要使新編制的幻方中最大數(shù)為 20，而 9＋11=20，因此，如果在所給幻方
中各數(shù)都增加 11，就能構(gòu)成一個(gè)新幻方，并且滿足最大數(shù)為 20，最小數(shù)大于 5。
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例 3 請(qǐng)編出一個(gè)三階幻方，使其幻和為 24。
分析與解 根據(jù)題意，要使三階幻方的幻和為 24，所以中心數(shù)必為 24÷3=8。那么與 8
在一條直線上的各個(gè)組的其余兩個(gè)數(shù)的和為 16。
1+15=16 2+14=16 3+13=16 4+12=16 5+11=16 6+10=16 7+9=16
按上述條件填出并調(diào)整可得到一個(gè)三階幻方，其幻和為 24（如圖 7）。