──“長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)”教學(xué)案例與評(píng)點(diǎn)

說(shuō)明：

本案例運(yùn)用北師大《九年義務(wù)教育課程》第五冊(cè)。它在前一課經(jīng)歷許多測(cè)量實(shí)踐活動(dòng)并了解周長(zhǎng)的一般意義（并未給周長(zhǎng)下定義）的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。本課教學(xué)目標(biāo)是能夠探索并掌握長(zhǎng)方形、正方形周長(zhǎng)的多種計(jì)算方法，培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)精神和抽象概括能力，會(huì)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題。

案例：

一、 復(fù)習(xí)“周長(zhǎng)”的意義

師：上一節(jié)課，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了“周長(zhǎng)”，誰(shuí)來(lái)舉例說(shuō)說(shuō)，周長(zhǎng)是什么意思呢？

生：我首先是從周長(zhǎng)的名字想到──周長(zhǎng)就是一周的長(zhǎng)。比如，三角板的周長(zhǎng)就是三角板一周的長(zhǎng)度。

生：圍成一個(gè)物體的一周的長(zhǎng)度，就是物體的周長(zhǎng)。如我的腰圍、胸圍等等（邊說(shuō)邊比劃），還有一棵古樹的樹干的周長(zhǎng)，就是圍繞樹干的一周的長(zhǎng)度，我上次看到一本書講，有一棵古樹的樹干的周長(zhǎng)有十幾米呢。

生：圍成一個(gè)圖形各條邊的總和，就是這個(gè)圖形的周長(zhǎng)。比如三角形就是三條邊的總和，四邊形就是四條邊的總和，五邊形就是五條邊的總和，六邊形就是六條邊的總和……反正有幾條邊，就是把幾條邊加起來(lái)的總和。

師：（拿出一個(gè)長(zhǎng)方形、正方形）誰(shuí)愿意來(lái)指一指，長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)是指哪里的長(zhǎng)度？（學(xué)生上來(lái)指出）

（學(xué)生討論、反饋）

師：（多媒體出示長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形、多邊形、圓形）老師這里有許多的平面圖形。現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們拿出紅筆描一描各個(gè)圖形的周長(zhǎng)。

（同學(xué)們拿出桌上同樣圖形的紙描起來(lái)）

［通過舉例子、指一指、描一描等方法復(fù)習(xí)“周長(zhǎng)”的含義，體現(xiàn)“周長(zhǎng)”與兒童生活密切相關(guān)，摒棄傳統(tǒng)教學(xué)中讓學(xué)生“背定義”的復(fù)習(xí)方式。］

二、 探究求“周長(zhǎng)”的方法

師：剛才，我們通過舉例、指一指、描一描等方法，知道了周長(zhǎng)的意思。周長(zhǎng)是有長(zhǎng)短的。你能判斷下面的長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)，哪一個(gè)長(zhǎng)一些？

［以“長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)誰(shuí)長(zhǎng)一些”來(lái)引導(dǎo)學(xué)生的猜想，激發(fā)探究欲望。］

生：長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)長(zhǎng)一些。

生：正方形的周長(zhǎng)長(zhǎng)一些。

生：兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)一樣長(zhǎng)。

師：現(xiàn)在有三處不同意見，誰(shuí)能想出一個(gè)比較好的辦法，證明你的判斷是正確的，讓大家心服口服�？梢元�(dú)立思考，也可以同桌討論。

(學(xué)生討論，或同桌交流)

生：我想用一根細(xì)線來(lái)“圍”住圖形，然后再量一下繩子的長(zhǎng)就可以了。

生：我想把這兩個(gè)圖形都圍繞一個(gè)尺子滾動(dòng)一周，就能知道論誰(shuí)的周長(zhǎng)大一些了。

生：我想先量出每條邊的長(zhǎng)度，再把幾條邊的長(zhǎng)度加起來(lái)就可以比較了。

師：大家想到的方法，都可以求出這兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)，也能比較出它們的長(zhǎng)短。但是，如果我們要大家比較的不是兩個(gè)圖形，而是兩個(gè)不同操場(chǎng)的周長(zhǎng)，那么用哪一種方法比較方便又比較準(zhǔn)確呢？

生：用“滾”的方法是不行的，“圍”的方法太麻煩了，用“先量再算”的方法比較方便準(zhǔn)確。

［讓學(xué)生尋求各種解決問題的策略，并不強(qiáng)求一致，同時(shí)又注意引導(dǎo)學(xué)生：策略一定要合理而科學(xué)。］

師：今天，我們就一起來(lái)研究長(zhǎng)方形和正方形周長(zhǎng)的計(jì)算方法。（板書）

師：我們先來(lái)量一量、算一算長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。剛才這位同學(xué)想到先量后算的方法。那么該怎樣量？又怎樣算呢？

生：我認(rèn)為只要量出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬就能算出長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)了。

師：對(duì)！現(xiàn)在，一個(gè)操場(chǎng)的長(zhǎng)和寬已經(jīng)量好了，請(qǐng)同學(xué)們看題（出示課本上的例題：學(xué)校操場(chǎng)是來(lái)一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)105米，寬80米，小強(qiáng)繞操場(chǎng)四周走一圈，走了多少米？），求小強(qiáng)走了一周，就是求什么？

生：長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。

師：操場(chǎng)的周長(zhǎng)怎樣算呢？請(qǐng)大家獨(dú)立思考完成。

（同學(xué)們獨(dú)自進(jìn)行計(jì)算后，再進(jìn)行交流，教師根據(jù)反饋情況，用多媒體動(dòng)態(tài)、隨機(jī)演示把長(zhǎng)方形拆成四條邊又合并起來(lái)的過程，展示學(xué)生的三種不同算法）

（1）105＋80＋105＋80＝370（米）

周長(zhǎng)＝長(zhǎng)＋寬＋長(zhǎng)＋寬

（2）105×2＝210（米）

80×2＝160（米）

210＋160＝370（米）

周長(zhǎng)＝長(zhǎng)×2＋寬×2

（3）105＋80＝185（米）

185×2＝370（米）

周長(zhǎng)＝（長(zhǎng)＋寬）×2

師：大家自己已經(jīng)總結(jié)了長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的三種計(jì)算方法。請(qǐng)同學(xué)們說(shuō)說(shuō)，你喜歡用哪一種方法？并說(shuō)說(shuō)這種方法的意思。

生：我喜歡第一種，它是把四條邊都加起來(lái)，就是操場(chǎng)的周長(zhǎng)了。

（學(xué)生爭(zhēng)著要說(shuō)，課堂有些吵鬧）

師：我覺得這位同學(xué)說(shuō)的“把四條邊加起來(lái)算周長(zhǎng)的方法”確實(shí)不錯(cuò)！大家說(shuō)，對(duì)不對(duì)？（同學(xué)們表示認(rèn)同）

生：我喜歡第二種，它是先把兩條長(zhǎng)和兩條寬分別算出來(lái)，再相加就行了。

（課堂氣氛更活躍了，顯得嘈雜）

師：同學(xué)們，我們還是要尊重別人的發(fā)言，等別人說(shuō)完了，再想想它說(shuō)得對(duì)不對(duì)，這樣才對(duì)我們的學(xué)習(xí)有更大的幫助。誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)，這位同學(xué)說(shuō)得對(duì)不對(duì)？

［對(duì)于有些吵鬧嘈雜的課堂，教者進(jìn)行及時(shí)進(jìn)行了有效的調(diào)控與引導(dǎo)，保證后面的進(jìn)程的順利進(jìn)行。］

生：他說(shuō)得是對(duì)的！原來(lái)我也是這么算的。后來(lái)又想：先算出一條長(zhǎng)和一條寬的和，正好是長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的一半，再乘2不就是長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)嗎？所以我喜歡第三種方法。

師：這位同學(xué)既尊重別人的發(fā)言，又很有自己的見解，我們應(yīng)該為這樣的同學(xué)鼓掌�。ù蠹引R鼓掌）其實(shí)，大家剛才都在動(dòng)腦筋、想辦法，都不錯(cuò)�。ǘ嗝襟w發(fā)出掌聲和“你真棒！”的表?yè)P(yáng)聲）

師：今后，我們每個(gè)人都可以用自己喜歡的方法去求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。但無(wú)論用哪一種方法，都必須知道什么條件？

生：求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，一定要知道長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。

師：說(shuō)得不錯(cuò)。請(qǐng)同學(xué)們打開課本，根據(jù)自己的喜愛填出長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式。(同學(xué)們閱讀課本，并填寫)

［肯定學(xué)生各種算法，并不要求學(xué)生一定要用哪種方法，也沒有十分強(qiáng)調(diào)哪種方法最簡(jiǎn)便，體現(xiàn)了“不同的人學(xué)不同的數(shù)學(xué)”思想。］

師：那么，我們又怎樣來(lái)求正方形的周長(zhǎng)呢？請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)看書，并填出求正方形周長(zhǎng)的公式。(同學(xué)們閱讀并填寫)

師：現(xiàn)在誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)正方形的周長(zhǎng)怎樣求？

生：就是把四條邊加起來(lái)。

生：正方形的周長(zhǎng)只要用邊長(zhǎng)乘4就行了，因?yàn)檎�方形的邊長(zhǎng)都一樣長(zhǎng)。

師：現(xiàn)在有一個(gè)操場(chǎng)，它是正方形，已知它的邊長(zhǎng)是90米，它的周長(zhǎng)和剛才長(zhǎng)方形操場(chǎng)的周長(zhǎng)比，哪個(gè)長(zhǎng)一些呢？請(qǐng)同學(xué)們算一算，比一比。

(同學(xué)們自行計(jì)算后交流反饋)

生：還是長(zhǎng)方形長(zhǎng)一些。因?yàn)檎�方形的周長(zhǎng)是90×4=360（米），而長(zhǎng)方形是370（米）。

師：通過剛才的探究，我們已經(jīng)知道長(zhǎng)方形只要知道長(zhǎng)和寬就能求出周長(zhǎng)，正方形只要知道邊長(zhǎng)就能求出周長(zhǎng)�，F(xiàn)在我們來(lái)做幾個(gè)練習(xí)。

三、 周長(zhǎng)計(jì)算的應(yīng)用

1、 周長(zhǎng)的基本應(yīng)用（此步略）。

2、 引深拓展。

出示書第55頁(yè)的第5題：A、B的周長(zhǎng)相等嗎？

師：計(jì)算B圖的周長(zhǎng)，光*圖上提供的數(shù)據(jù)行嗎？

生：不行。

師：那么，還必須知道哪些數(shù)據(jù)才行？

(請(qǐng)一名學(xué)生到說(shuō)出來(lái)，并上面指出來(lái)，同時(shí)電腦閃爍顯示)

師：這樣，沒有標(biāo)出數(shù)據(jù)的兩條線段就是幾厘米？

生：分別是3厘米和2厘米。

師：現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們算出這兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我是這樣算的：第一個(gè)圖形的周長(zhǎng)是：10×2＋5×2＝30（厘米），第二個(gè)圖形的周長(zhǎng)是：10＋5＋7＋2＋3＋3＝30（厘米），它們是一樣長(zhǎng)的。

生：噢！我發(fā)現(xiàn)──（有一個(gè)同學(xué)迫不及待想說(shuō)，教師示意他到前面來(lái)指著B圖形接著說(shuō)））如果把這兩條短邊分別移到外邊去，就和A圖形是一樣的了！所以B圖形的周長(zhǎng)的算法也和A圖形是一樣的！

（教師用多媒體配合演示，下略）

［對(duì)于B圖，學(xué)生用“逐次計(jì)算每條邊長(zhǎng)度”或“通過移動(dòng)，知道與A圖算法一樣”也均予以肯定，使不同的學(xué)生得到不同程度的最大發(fā)展。］

案例評(píng)析：

1、 以持續(xù)發(fā)展為著眼點(diǎn)，重組教材，引導(dǎo)探究

按傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教材，周長(zhǎng)的概念描述為“圍成一個(gè)圖形的所有邊長(zhǎng)的總和叫做它的周長(zhǎng)”。但教者從數(shù)學(xué)新課程“空間與圖形”的整體目標(biāo)出發(fā)，從學(xué)生持續(xù)、和諧的發(fā)展出發(fā)，加強(qiáng)了“周長(zhǎng)”與日常生活聯(lián)系，讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言來(lái)描述對(duì)“周長(zhǎng)”的理解，并一一進(jìn)行充分肯定，這是難能可貴的。這樣教學(xué)，充分反映教者了對(duì)新課程理念的正確認(rèn)識(shí)。

教學(xué)中，教師尊重學(xué)生，發(fā)揚(yáng)教學(xué)民主，以學(xué)生為探究主體，盡可能讓學(xué)生充分暴露自己的思維過程，引導(dǎo)學(xué)生自主評(píng)價(jià)，自我感悟，老師成了學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者和共同參與者。在策略的比較中，促進(jìn)了學(xué)生認(rèn)知能力和圖形周長(zhǎng)推理能力的發(fā)展，體現(xiàn)了“跳出數(shù)學(xué)教數(shù)學(xué)”的教學(xué)思想，充分地讓學(xué)生經(jīng)歷了“數(shù)學(xué)化”和“再創(chuàng)造”的學(xué)習(xí)探究過程，為學(xué)生個(gè)性的發(fā)展提供了充分的時(shí)間和空間。

2、 以解決實(shí)際問題為準(zhǔn)則，強(qiáng)調(diào)算法的多樣化

計(jì)算長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)是計(jì)算圖形周長(zhǎng)中的一種特例。它是經(jīng)過人們的不斷總結(jié)而獲得的。它的特點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)便、迅速。但對(duì)初次接觸的小學(xué)生來(lái)說(shuō)，是把重點(diǎn)放在周長(zhǎng)公式的結(jié)果上，還是注重引導(dǎo)學(xué)生在測(cè)量具體圖形中探索周長(zhǎng)的過程，則是兩種不同教育觀的反映。

在教學(xué)過程中，教者并沒有采用傳統(tǒng)的“公式─例題─習(xí)題”的教學(xué)結(jié)構(gòu)模式，而是采用新課程努力倡導(dǎo)的“問題情景─猜想─建立模型─驗(yàn)證與解釋─應(yīng)用與拓展”新型教學(xué)模式進(jìn)行的。

在聯(lián)系實(shí)際復(fù)習(xí)“周長(zhǎng)”的含義之后，教者就設(shè)置了一個(gè)問題情境：一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)正方形（看上去周長(zhǎng)差不多），哪個(gè)周長(zhǎng)長(zhǎng)一些呢？引發(fā)學(xué)生探究欲望。學(xué)生通過討論與交流，想出了“滾”、“圍”、“先量再算”等多種策略。對(duì)于這些方法，教師沒有簡(jiǎn)單地加以肯定或否定，而是又恰到好處地拋出一個(gè)新的問題：“如果長(zhǎng)方形和正方形是兩個(gè)操場(chǎng)，我們又該怎樣計(jì)算呢？”又一次激發(fā)孩子們的探究熱情，學(xué)生他們興致勃勃地投入新的、現(xiàn)實(shí)的、有意義的又富有挑戰(zhàn)性的問題情境之中了。通過小組交流，學(xué)生從實(shí)踐的角度對(duì)其可行性加以思考、比較與取舍。這不僅驗(yàn)證了剛才的策略是否合理，同時(shí)又從中領(lǐng)悟到解決問題的新方法、新策略。最后，又一個(gè)挑戰(zhàn)的問題出現(xiàn)了：圖A與圖B，它們的周長(zhǎng)相等嗎？再一次進(jìn)行學(xué)習(xí)與探究、

需要強(qiáng)調(diào)指出的是，在三輪的學(xué)習(xí)探究與討論交流中，教者始終沒有以一個(gè)“權(quán)威者”的角色指出哪個(gè)方法是最簡(jiǎn)便、最科學(xué)、最合理的，而是讓學(xué)生通過獨(dú)立思考、探究與計(jì)算的過程，自己會(huì)去體會(huì)他喜歡或者能夠理解的算法，真正體現(xiàn)了“算法的多樣化”和“讓不同的人學(xué)不同的數(shù)學(xué)”的新課程理念。

顯然，從這樣的立場(chǎng)出發(fā)，我們就不僅應(yīng)當(dāng)承認(rèn)這種“時(shí)間差”，而且還應(yīng)承認(rèn)“路徑差”。正如數(shù)學(xué)教育專家鄭毓信所說(shuō)：“（學(xué)生）所選用的策略，在教師眼中或許有優(yōu)劣之分，但在孩子眼里并沒有好壞之別，只要解題過程及答案具合理性，就值得肯定�！�

因此，在我們的教學(xué)中，既要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的滲透，但又不應(yīng)該追求任何強(qiáng)制的統(tǒng)一。在類似的“計(jì)算周長(zhǎng)”教學(xué)中，學(xué)生會(huì)有各種不同的算法，對(duì)他們的不同算法，教師不要急于歸納到公式中去，可以讓他們說(shuō)說(shuō)算的道理。在多次的測(cè)量和計(jì)算的過程中，學(xué)生自己逐步會(huì)掌握用周長(zhǎng)公式計(jì)算的方法。當(dāng)然，對(duì)一些不善于用周長(zhǎng)公式計(jì)算的學(xué)生，也不必強(qiáng)求統(tǒng)一，隨著計(jì)算周長(zhǎng)經(jīng)驗(yàn)的積累，他們慢慢也能悟出周長(zhǎng)公式的意義的。

3、采用多種有效策略，調(diào)控探究進(jìn)程，做到“自由而不散亂”

新課程強(qiáng)調(diào)“算法的多樣化”，就必然要引導(dǎo)學(xué)生。但放手讓學(xué)生進(jìn)行討論時(shí)，又可能出現(xiàn)吵吵鬧鬧、課堂氣氛嘈雜甚至失控的現(xiàn)象。因此，面對(duì)新課程的教學(xué)，如何讓學(xué)生充分討論，又保證學(xué)習(xí)進(jìn)程的順利進(jìn)行呢？

對(duì)于這些情況，教師首先能夠有一顆“平常心”，同時(shí)有一些“容忍”，即在討論與交流的過程中，有一些吵鬧是難免的，但有兩點(diǎn)原則必須把握好：一是吵鬧的東西必須是討論話題相關(guān)的，二是吵鬧要不影響別人和教學(xué)進(jìn)程。違反了這兩個(gè)原則，教師就不能再坐視不管了。

本堂課討論過程中，學(xué)生也有些吵鬧。教者首先是寬容與容忍，但教者并沒有處于消極被動(dòng)地位，恰恰相反，通過一些科學(xué)的調(diào)控手段，有效地控制了課堂的學(xué)習(xí)探究進(jìn)程，保證新一輪討論、交流與探究的進(jìn)行。教者主要通過以下策略來(lái)改善課堂一些不良狀況的：

一是“重復(fù)和確認(rèn)”。美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家瑞思尼克曾：“重復(fù)學(xué)生的語(yǔ)言，再一次確認(rèn)學(xué)生的意思，是教師控制教室對(duì)話的兩種最明顯的策略，這兩種策略可以讓學(xué)生的發(fā)言，從個(gè)體自我意思的表達(dá)，轉(zhuǎn)化為全班可以共同溝通的語(yǔ)言�！痹谟懻撊�種算法時(shí)，有同學(xué)對(duì)第一種解法的同學(xué)顯得不屑一顧，而且顯得有些不耐煩，這時(shí)教者及時(shí)肯定并重復(fù)這名同學(xué)的發(fā)言，使課堂討論得以順利進(jìn)行。

其二，還可以通過“強(qiáng)化和淡化”的策略來(lái)改善課堂的不良?xì)夥�。即�?duì)于教室運(yùn)作有用的信息就予以增強(qiáng)，對(duì)于干擾或暫不能處理的信息則予以忽略或淡化處理。這樣，有用的信息將被有意的放大，而無(wú)效的信息則被在課堂學(xué)習(xí)中逐步忽略不計(jì)了。如當(dāng)有同學(xué)說(shuō)他喜歡第二種算法時(shí)，又有同學(xué)顯得不耐煩，這時(shí)教師通過語(yǔ)言提醒學(xué)生“聽取別人的發(fā)言，既是尊重別人，同時(shí)對(duì)自己學(xué)習(xí)也有幫助”，同時(shí)對(duì)隨后的學(xué)生發(fā)言鼓掌表?yè)P(yáng)，強(qiáng)化“傾聽別人發(fā)言”的交流風(fēng)氣；對(duì)隨便亂發(fā)言的人不予理睬（淡化），一下子就改善了課堂中出現(xiàn)的不良狀況。

其三，要充分建立學(xué)生的自信心。這種策略在本節(jié)課也得到較為充分的體現(xiàn)。教學(xué)中，教師能盡量退到“后臺(tái)”，盡量縮小自己（的權(quán)威）。學(xué)生能說(shuō)的盡量讓學(xué)生說(shuō)，學(xué)生能做的盡量讓學(xué)生做，學(xué)生能總結(jié)的盡量讓學(xué)生總結(jié)，這樣學(xué)生在建構(gòu)知識(shí)的同時(shí)也建構(gòu)起自己對(duì)學(xué)習(xí)的自信心。此外，通過多媒體中設(shè)置的“鼓掌聲與表?yè)P(yáng)語(yǔ)”也起到較為明顯的效果。