高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)階段性測(cè)試題含答案及解釋
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。滿分150分。考試時(shí)間120分鐘。
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符號(hào)題目要求的。)
1.(2011?寧夏銀川一中檢測(cè))y=(sinx+cosx)2-1是()
A.最小正周期為2π的偶函數(shù)B.最小正周期為2π的奇函數(shù)
C.最小正周期為π的偶函數(shù)D.最小正周期為π的奇函數(shù)
[答案] D
[解析] y=(sinx+cosx)2-1=2sinxcosx=sin2x，所以函數(shù)y=(sinx+cosx)2-1是最小正周期為π的奇函數(shù).
2.(2011?寧夏銀川月考、山東聊城一中期末)把函數(shù)y=sin(ωx+φ)(ω0，|φ|π)的圖象向左平移π6個(gè)單位，再將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)所得的圖象解析式為y=sinx，則()
A.ω=2，φ=π6B.ω=2，φ=-π3
C.ω=12，φ=π6 D.ω=12，φ=π12
[答案] B
[分析] 函數(shù)y=sin(ωx+φ)經(jīng)過上述變換得到函數(shù)y=sinx，把函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過上述變換的逆變換即可得到函數(shù)y=sin(ωx+φ)的圖象.
[解析] 把y=sinx圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的12倍得到的函數(shù)解析式是y=sin2x，再把這個(gè)函數(shù)圖象向右平移π6個(gè)單位，得到的函數(shù)圖象的解析式是y=sin2x-π6=sin2x-π3，與已知函數(shù)比較得ω=2，φ=-π3.
[點(diǎn)評(píng)] 本題考查三角函數(shù)圖象的變換，試題設(shè)計(jì)成逆向考查的方式更能考查出考生的分析解決問題的靈活性，本題也可以根據(jù)比較系數(shù)的方法求解，根據(jù)已知的變換方法，經(jīng)過兩次變換后函數(shù)y=sin(ωx+φ)被變換成y=sinωx2+ωπ6+φ比較系數(shù)也可以得到問題的答案.
3.(2011?遼寧沈陽二中階段檢測(cè))若函數(shù)f(x)=sinωx+cosωx(ω0)的最小正周期為1，則它的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為()
A.-π8，0 B.π8，0
C.(0,0) D.-π4，0
[答案] A
[分析] 把函數(shù)化為一個(gè)角的一種三角函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的最小正周期求出ω的值，根據(jù)對(duì)稱中心是函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn)或直接令f(x)=0求解.
[解析] f(x)=sinωx+cosωx=2sinωx+π4，這個(gè)函數(shù)的最小正周期是2πω，令2πω=1，解得ω=2，故函數(shù)f(x)=sinωx+cosωx=2sin2x+π4，把選項(xiàng)代入檢驗(yàn)知點(diǎn)-π8，0為其一個(gè)對(duì)稱中心.
[點(diǎn)評(píng)] 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的對(duì)稱中心，就是函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn).
4.(2011?江西南昌市調(diào)研)已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+m(A0，ω0)的最大值為4，最小值為0，最小正周期為π2，直線x=π3是其圖象的一條對(duì)稱軸，則符合條件的函數(shù)解析式是()
A.y=4sin4x+π6 B.y=2sin2x+π3+2
C.y=2sin4x+π3+2 D.y=2sin4x+π6+2
[答案] D
[解析] 由最大值為4，最小值為0得
A+m=4-A+m=0，∴A=2m=2，
又因?yàn)檎芷跒棣?，∴2πω=π2，∴ω=4，∴函數(shù)為y=2sin(4x+φ)+2，∵直線x=π3為其對(duì)稱軸，∴4×π3+φ=π2+kπ，k∈Z，∴φ=kπ-5π6，取k=1知φ=π6，故選D.
5.(文)(2011?北京朝陽區(qū)期末)要得到函數(shù)y=sin2x-π4的圖象，只要將函數(shù)y=sin2x的圖象()
A.向左平移π4個(gè)單位B.向右平移π4個(gè)單位
C.向右平移π8個(gè)單位D.向左平移π8個(gè)單位
[答案] C
[解析] y=sin2x-π4=sin2x-π8，故只要將y=sin2x的圖象向右平移π8個(gè)單位即可.因此選C.
(理)(2011?東北育才期末)已知a=(cosx，sinx)，b=(sinx，cosx)，記f(x)=a?b，要得到函數(shù)y=cos2x-sin2x的圖像，只需將函數(shù)y=f(x)的圖像()
A.向左平移π2個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移π2個(gè)單位長(zhǎng)度
C.向左平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度
[答案] C
[解析] f(x)=a?b=cosxsinx+sinxcosx=sin2x，y=cos2x-sin2x=cos2x=sinπ2+2x=sin2x+π4，可將f(x)的圖象向左平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故選C.
6.(文)(2011?北京西城區(qū)期末)已知△ABC中，a=1，b=2，B=45°，則角A等于()
A.150° B.90°
C.60° D.30°
[答案] D
[解析] 根據(jù)正弦定理得1sinA=2sin45°，∴sinA=12，
∵a(理)(2011?福州期末)黑板上有一道解答正確的解三角形的習(xí)題，一位同學(xué)不小心把其中一部分擦去了，現(xiàn)在只能看到：在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a=2，……，解得b=6.根據(jù)以上信息，你認(rèn)為下面哪個(gè)選項(xiàng)可以作為這個(gè)習(xí)題的其余已知條件()
A.A=30°，B=45° B.c=1，cosC=13
C.B=60°，c=3 D.C=75°，A=45°
[答案] D
[分析] 可將選項(xiàng)的條件逐個(gè)代入驗(yàn)證.
[解析] ∵2sin30°≠6sin45°，∴A錯(cuò);
∵cosC=a2+b2-c22ab=4+6-146≠13，∴B錯(cuò);
∵a2+c2-b22ac=4+9-612=712≠cos60°，
∴C錯(cuò)，故選D.
7.(文)(2011?黃岡市期末)已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b的一部分圖象如圖所示，如圖A0，ω0，|φ|π2，則()
A.φ=-π6 B.φ=-π3
C.φ=π3 D.φ=π6
[答案] D
[解析] 由圖可知A+b=4-A+b=0，∴A=2b=2，
又T4=5π12-π6=π4，∴T=π，∴ω=2，
∴y=2sin(2x+φ)+2，將5π12，2代入得sin5π6+φ=0，結(jié)合選項(xiàng)知選D.
(理)(2011?蚌埠二中質(zhì)檢)函數(shù)y=cos(ωx+φ)(ωφπ)為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如右圖所表示，A、B分別為最高與最低點(diǎn)，并且兩點(diǎn)間的距離為22，則該函數(shù)的一條對(duì)稱軸為()
A.x=2π B.x=π2
C.x=1 D.x=2
[答案] C
[解析] ∵函數(shù)y=cos(ωx+φ)為奇函數(shù)，0π，∴φ=π2，∴函數(shù)為y=-sinωx，又ω0，相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)A、B之間距離為22，∴ω=π2，∴y=-sinπ2x，其對(duì)稱軸方程為π2x=kπ+π2，即x=2k+1(k∈Z)，令k=0得x=1，故選C.
8.(文)(2011?安徽百校聯(lián)考)已知cos3π2-φ=32，且|φ|π2，則tanφ等于()
A.-33 B.33
C.3 D.-3
[答案] D
[解析] 由cos3π2-φ=32得，sinφ=-32，
又|φ|π2，∴cosφ=12，∴tanφ=-3.
(理)(2011?山東日照調(diào)研)已知cosα=-45且α∈π2，π，則tanα+π4等于()
A.-17 B.-7
C.17 D.7
[答案] C
[解析] ∵cosα=-45，π2≤α≤π，
∴sinα=35，∴tanα=-34，
∴tanα+π4=tanα+tanπ41-tanα?tanπ4=-34+11--34×1=17，故選C.
9.(2011?巢湖質(zhì)檢)如圖是函數(shù)y=sin(ωx+φ)的圖象的一部分，A，B是圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)和一個(gè)最低點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OA→?OB→的值為()
A.12π B.19π2+1
C.19π2-1 D.13π2-1
[答案] C
[解析] 由圖知T4=5π12-π6=π4，∴T=π，
∴ω=2，∴y=sin(2x+φ)，
將點(diǎn)-π12，0的坐標(biāo)代入得sin-π6+φ=0，
∴φ=π6，
∴Aπ6，1，B2π3，-1，∴OA→?OB→=π29-1，故選C.
10.(2011?濰坊一中期末)已知函數(shù)f(x)=2sinωx(ω0)在區(qū)間[-π3，π4]上的最大值是2，則ω的最小值等于()
A.23 B.32
C.2 D.3
[答案] C
[解析] 由條件知fπ4=2sinπ4ω=2，∴ω=8k+2，∵ω0，∴ω最小值為2.
11.(文)(2011?煙臺(tái)調(diào)研)已知tanα=2，則2sin2α+1sin2α=()
A.53 B.-134
C.135 D.134
[答案] D
[解析] ∵tanα=2，∴2sin2α+1sin2α=3sin2α+cos2α2sinαcosα=3tan2α+12tanα=134.
(理)(2011?四川廣元診斷)tan10°+tan50°+tan120°tan10°?tan50°的值應(yīng)是()
A.-1 B.1
C.-3 D.3
[答案] C
[解析]
原式=tan?10°+50°??1-tan10°tan50°?-tan60°tan10°tan50°
=3-3tan10°tan50°-3tan10°tan50°=-3.
12.(2011?溫州八校期末)在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，設(shè)命題p：asinB=bsinC=csinA，命題q：△ABC是等邊三角形，那么命題p是命題q的`()
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
[答案] C
[解析] ∵asinB=bsinC=csinA，
∴由正弦定理得sinAsinB=sinBsinC=sinCsinA，
∴sinA=sinB=sinC，即a=b=c，∴p?q，故選C.
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)
13.(文)(2011?山東日照調(diào)研)在△ABC中，若a=b=1，c=3，則∠C=________.
[答案] 2π3
[解析] cosC=a2+b2-c22ab=1+1-32=-12，∴C=2π3.
(理)(2011?四川資陽模擬)在△ABC中，∠A=π3，BC=3，AB=6，則∠C=________.
[答案] π4
[解析] 由正弦定理得3sinπ3=6sinC，∴sinC=22，∵AB14.(2011?山東濰坊一中期末)若tanα=2，tan(β-α)=3，則tan(β-2α)的值為________.
[答案] 17
[解析] tan(β-2α)=tan[(β-α)-α]
=tan?β-α?-tanα1+tan?β-α??tanα=3-21+3×2=17.
15.(2011?安徽百校論壇聯(lián)考)已知f(x)=2sin2x-π6-m在x∈[0，π2]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則m的取值范圍是________.
[答案] [-1,2]
[解析] f(x)在[0，π2]上有兩個(gè)不同零點(diǎn)，即方程f(x)=0在[0，π2]上有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
∴y=2sin2x-π6，x∈[0，π2]與y=m有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
∵0≤x≤π2，∴-π6≤2x-π6≤5π6，
∴-12≤sin(2x-π6)≤1，∴-1≤y≤2，∴-1≤m≤2.
16.(2011?四川廣元診斷)對(duì)于函數(shù)f(x)=2cos2x+2sinxcosx-1(x∈R)給出下列命題：①f(x)的最小正周期為2π;②f(x)在區(qū)間[π2，5π8]上是減函數(shù);③直線x=π8是f(x)的圖像的一條對(duì)稱軸;④f(x)的圖像可以由函數(shù)y=2sin2x的圖像向左平移π4而得到.其中正確命題的序號(hào)是________(把你認(rèn)為正確的都填上).
[答案] ②③
[解析] f(x)=cos2x+sin2x=2sin2x+π4，最小正周期T=π;由2kπ+π2≤2x+π4≤2kπ+3π2(k∈Z)得kπ+π8≤x≤kπ+5π8，故f(x)在區(qū)間[π2，5π8]上是減函數(shù);當(dāng)x=π8時(shí)，2x+π4=π2，∴x=π8是f(x)的圖象的一條對(duì)軸稱;y=2sin2x的圖象向左平移π4個(gè)單位得到的圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)為y=2sin2x+π4，即y=2sin2x+π2，因此只有②③正確.
三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17.(本小題滿分12分)(2011?煙臺(tái)調(diào)研)向量m=(a+1，sinx)，n=(1,4cos(x+π6))，設(shè)函數(shù)g(x)=m?n(a∈R，且a為常數(shù)).
(1)若a為任意實(shí)數(shù)，求g(x)的最小正周期;
(2)若g(x)在[0，π3)上的最大值與最小值之和為7，求a的值.
[解析] g(x)=m?n=a+1+4sinxcos(x+π6)
=3sin2x-2sin2x+a+1
=3sin2x+cos2x+a
=2sin(2x+π6)+a
(1)g(x)=2sin(2x+π6)+a，T=π.
(2)∵0≤xπ3，∴π6≤2x+π65π6
當(dāng)2x+π6=π2，即x=π6時(shí)，ymax=2+a.
當(dāng)2x+π6=π6，即x=0時(shí)，ymin=1+a，
故a+1+2+a=7，即a=2.
18.(本小題滿分12分)(2011?四川資陽模擬)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A0，ωφπ)在x=π6取得最大值2，方程f(x)=0的兩個(gè)根為x1、x2，且|x1-x2|的最小值為π.
(1)求f(x);
(2)將函數(shù)y=f(x)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮到原來的12，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在[-π4，π4]上的值域.
[解析] (1)由題意A=2，函數(shù)f(x)最小正周期為2π，即2πω=2π，∴ω=1.
從而f(x)=2sin(x+φ)，∵fπ6=2，
∴sinπ6+φ=1，則π6+φ=π2+2kπ，即φ=π3+2kπ，
∵0π，∴φ=π3.故f(x)=2sinx+π3.
(2)可知g(x)=2sin2x+π3，
當(dāng)x∈[-π4，π4]時(shí)，2x+π3∈[-π6，5π6]，則
sin2x+π3∈[-12，1]，
故函數(shù)g(x)的值域是[-1,2].
19.(本小題滿分12分)(2011?山西太原調(diào)研)在△ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a+b=5，c=7，且4sin2A+B2-cos2C=72.
(1)求角C的大小;
(2)求△ABC的面積.
[解析] (1)∵A+B+C=180°，4sin2A+B2-cos2C=72.∴4cos2C2-cos2C=72，
∴4?1+cosC2-(2cos2C-1)=72，
∴4cos2C-4cosC+1=0，解得cosC=12，
∵0°(2)∵c2=a2+b2-2abcosC，
∴7=(a+b)2-3ab，解得ab=6.
∴S△ABC=12absinC=12×6×32=332.
20.(本小題滿分12分)(2011?遼寧大連聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A0，ω0，|φ|π2)的部分圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若fα2=45，0π3，求cosα的值.
[解析] (1)由圖象知A=1
f(x)的最小正周期T=4×5π12-π6=π，故ω=2πT=2
將點(diǎn)π6，1代入f(x)的解析式得sinπ3+φ=1，
又|φ|π2，∴φ=π6
故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=sin2x+π6
(2)fα2=45，即sinα+π6=45，又0π3，
∴π6α+π6π2，∴cosα+π6=35.
又cosα=[(α+π6)-π6]
=cosα+π6cosπ6+sinα+π6sinπ6=33+410.
21.(本小題滿分12分)(文)(2011?浙江寧波八校聯(lián)考)A、B是單位圓O上的動(dòng)點(diǎn)，且A、B分別在第一、二象限，C是圓O與x軸正半軸的交點(diǎn)，△AOB為等腰直角三角形.記∠AOC=α.
(1)若A點(diǎn)的坐標(biāo)為35，45，求sin2α+sin2αcos2α+cos2α的值;
(2)求|BC|2的取值范圍.
[解析] (1)∵tanα=4535=43，
∴原式=tan2α+2tanα2-tan2α=20.
(2)A(cosα，sinα)，B(cos(α+π2)，sin(α+π2))，且C(1,0)
|BC|2=[cos(α+π2)-1]2+sin2(α+π2)=2+2sinα
而A，B分別在第一、二象限，α∈0，π2，
∴|BC|2的取值范圍是(2,4).
(理)(2011?華安、連城、永安、漳平、龍海、泉港六校聯(lián)考)A、B、C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，且其對(duì)邊分別為a、b、c，若m=-cosA2，sinA2，n=cosA2，sinA2，且m?n=12.
(1)求角A的大小;
(2)若a=23，三角形面積S=3，求b+c的值.
[解析] (1)m?n=-cos2A2+sin2A2=-cosA=12，
∴cosA=-12，∵A∈(0°，180°)，∴A=120°.
(2)S△ABC=12bcsin120°=3
∴bc=4，
又∵a2=b2+c2-2bccos120°
=b2+c2+bc=(b+c)2-bc=12，
∴b+c=4.
22.(本小題滿分12分)(2011?黑龍江哈六中期末)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，已知c=2，C=π3.
(1)若△ABC的面積等于3，求a，b;
(2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A，求△ABC的面積.
[解析] (1)由余弦定理及已知條件得，a2+b2-ab=4，又因?yàn)椤鰽BC的面積等于3，所以12absinC=3，得ab=4.聯(lián)立方程組a2+b2-ab=4，ab=4，解得a=2，b=2.
(2)由題意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA，即sinBcosA=2sinAcosA，
當(dāng)cosA=0時(shí)，A=π2，B=π6，a=433，b=233，
當(dāng)cosA≠0時(shí)，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，聯(lián)立方程組a2+b2-ab=4，b=2a，
解得a=233，b=433.
所以△ABC的面積S=12absinC=233.
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