初中數學概念PCK內涵解析與實施方法論文

　　摘 要：教學實踐表明，課堂教學的有效性離不開教師的引導，教師引導的有效性決定于教師的專業水平。根據初中數學概念教學的地位和特點，結合 PCK 內涵的四個組成部分進行數學概念的 PCK 內涵解析，能幫助教師深刻理解概念本質、認識概念教學的學科教育價值，能夠理解學生的經驗與困難，可以進一步闡釋概念的本質屬性，發展學生的數學素養，設計恰當的教學策略，可以提升概念教學的有效性。

　　關鍵詞：初中數學概念教學；PCK 內涵解析；數學概念 PCK 內涵。

　　一、初中數學概念教學的意義及一般方法。

　　（一）初中數學概念教學的意義。

　　概念是事物本質屬性在人腦中的反映，是思維的基本形式之一，是進行判斷和推理的基礎。數學概念是反映數學對象本質屬性的思維形式，是形成數學知識體系的基礎，是數學思想方法的重要載體。而數學概念教學的意義不僅在于讓學生掌握數學概念本身，更重要的是在獲得概念本質屬性的過程中，通過觀察、比較、分析、歸納、抽象、概括等數學活動，發展學生的推理能力、抽象思維，體會數學的思想方法，促進學生的數學學科素養的發展。因此，數學概念的教學對數學學科和學生發展都有重要的意義。

　　（二）初中數學概念教學的一般方法。

　　在初中數學課程中，概念眾多，南京師范學院的章飛教授就概念教學實施的角度，將概念分成 3 類（對象性概念、度量性概念、觀念性概念），其中的對象性概念是教學的重點之一。對象即數學的研究對象，如各種數、各種式、各種圖形的概念。概念教學的過程一般要經歷：一是概念的引入（揭示研究的必要性）；二是概念的獲得（揭示概念本質屬性的過程）；三是概念的鞏固與運用（了解概念的運用，在運用中進一步理解、鞏固概念）三個過程。其中概念的獲得最重要，它主要有兩種基本形式---概念的同化和概念的形成（具體見圖 1、圖 2）。

　　從圖中可以看出，“概念的同化”是直接明晰概念，通過教師的講解、解釋，學生逐步明確概念的內涵；通過運用變式的材料和例證，學生明確概念的外延。“概念的形成”是經歷對具體特殊實例的特征的歸納、類比，檢驗后明確概念的本質屬性；給出定義并用常用的形式符號表示概念。這就要求學生經歷一個對概念本質屬性的抽象過程，在此過程中發展學生的抽象思維、推理能力、符號意識、模型思想等，并使學生逐步形成數學的學科觀念。

　　可見，不管采用哪種方式，教師都必須準確、深刻地理解概念的本質屬性，了解概念的內涵外延，有清晰、完整的概念結構體系。同時，要了解不同概念適用哪種概念獲得的方式。這就依靠教師對概念本身的理解，并設計出有效的概念教學策略。如果教師對概念本質屬性的理解有偏差，對概念體系的認識不完整，對概念承載的數學教育價值不明確，那么，不論采取了怎樣的課堂模式和教學策略，都不能夠達成概念教學應有的目標，也就不能體現概念教學的意義。

　　二、進行初中數學概念 PCK 內涵解析的作用。

　　（一）運用 PCK 內涵解析進行概念教學可以進一步闡釋概念的本質屬性。

　　經過十多年的新課程改革實驗，《義務教育數學課程標準（2011 年版）》倡導的教學理念已經逐步轉化為教學行為，在概念教學中，教師一般都能讓學生經歷概念形成的過程，很少出現“一個定義、幾項注意”的概念教學方式。但是，在“引導學生探究概念本質屬性”的過程中，卻屢屢出現對本質屬性理解不準確的問題。尤其是，初中數學教材中很多概念的定義是用“形式化定義”或“發生式定義”方式給出的，其定義并沒有揭示了概念的本質屬性。在這些概念的教學中，教師就更容易出現將“形式化定義”作為概念本質屬性的現象，在課堂上反復進行針對定義的辨析，而忽略引導學生體會概念所蘊含的豐富的問題情境、思想方法，使概念教學缺少了應有的教育價值。這樣，既不能使學生深刻理解概念，也不能通過概念教學的過程發展學生的數學能力。例如，在“方程概念”的教學中，有些教師認為“方程”概念的本質屬性是“含有未知數的等式”,由此可見，在課堂上讓學生大量進行“判定下列各式是不是方程”的訓練，使方程概念的教學成為辨析形式化定義的刻板過程，不能體現方程概念的教育價值。其實“方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型”,其本質是：建立已知、未知之間的聯系，并借助已知求量求出未知量，繼而解決問題“.在方程概念的學習中，學生應經歷”用方程刻畫不同情境中的等量關系的過程“,抽象出”本質屬性“,并體會”方程是刻畫現實世界數量關系的重要模型“這一思想，以發展學生的抽象思維和模型思想，體現數學學科概念教學的價值。

　　（二）進行初中數學概念 PCK 內涵解析可以有效發展學生的數學素養。

　　正確理解概念的本質特征是教師進行數學概念教學的必要前提，是通過概念教學發展學生學科素養、體現概念教育價值的保證。那么，在概念教學中怎樣才能避免出現以上問題，從而體現概念教學的價值呢？

　　如二次函數概念的學習，有利于發展學生”數學抽象“的核心素養，發展符號意識。抽象是數學最本質的特征之一，也是數學最基本的思想之一。在二次函數概念教學時，學生將經歷從豐富的實際問題中建立出函數關系式，然后分析所得到的函數關系的特點，抽象出共性特征，從而建立二次函數的'概念。在這個過程中，學生最主要的思維活動就是”抽象“,因此，合理設計二次函數概念的教學將有利于發展學生”數學抽象“的核心素養，同時在建立二次函數一般形式的過程中發展學生的符號意識。

　　再如，二次函數概念的教學，有利于發展學生”數學建模“的核心素養，體會數學應用的廣泛性。二次函數在軍事、體育、物理、心理、建筑等現實世界中都有廣泛應用，是一種重要的”數學模型“.在二次函數概念的學習中，學生需要分析不同情境中變量關系與變化規律，建立變量之間的函數關系式，這個過程就是”建模“.

　　二次函數概念教學這一重要概念的教育價值還體現在”過程與方法“層面。對于學生而言，獲得二次函數概念的過程是”從特殊到一般再到特殊“的認識事物的過程，而二次函數所刻畫的問題的復雜性，更實現了學生研究函數問題經驗與方法的進一步的積累與提升。

　　由引可見，對一個概念的”PCK 內涵“作透徹解析，可以幫助教師深入理解所教概念的本質，了解這一概念與其他內容的聯系，獲得概念教學目標中的知識技能目標。能夠幫助教師理解數學內容蘊含的數學思想方法、使學生在學習該知識的過程中能夠發展其數學素養、形成學科觀念。

　　三、初中數學概念 PCK 內涵解析的認識與實施的方法。

　　（一）PCK 內涵解析的認識。

　　PCK 即學科教學知識，是 Pedagogical ContentKnowledge 的簡稱，1986 年由美國的舒爾曼教授最先提出，將其定義為”特定教學內容與教學法的整合與轉換，是教師獨特的知識領域，是他們專業理解的特殊形式“.通俗地說，就是”使人易于懂得該學科內容的表達和闡述方式“.

　　1990 年，格羅茲曼作為舒爾曼理論的繼承者，將PCK 內涵分成四個部解：一是教師關于一門學科教學目的的統領性觀念---關于學科性質的知識、關于學生學習哪些重要內容的知識或觀念；二是關于學生對某一課題理解和誤解的知識；三是關于課程和教材的知識，它主要指關于教材和其他可用于特定主題教學的各種教學媒體和材料的知識，還包括學科內容與其他知識之間的橫向和縱向聯系的結構的知識；四是特定主題教學策略和表征的知識。

　　（二）初中數學概念 PCK 內涵解析的方法。

　　根據 PCK 內涵的四個方面，結合數學概念教學的一般過程，進行數學概念 PCK 內涵解析的具體步驟如下：一是解析數學概念的本質屬性及教育價值；二是解析概念與其他概念的聯系；三是解析學生學習概念的經驗與困惑；在三項解析的基礎上，設計概念教學的策略，概念教學解析的作用在于，解析對確定教學目標、設計教學策略有決定性的作用，解析準確透徹，目標會具體明確，策略也就具有針對性。

　　1.解析數學概念的特征。

　　首先，要解析數學概念的內涵，即要指出”概念的內涵（本質屬性）、外延、定義、數學符號表示（圖形）、概念的作用“;這項分析能夠使教師明確概念對應的”知識技能教學目標“.其次，要解析概念的教育價值，即要指出”概念蘊含的數學思想方法、獲得概念的過程中能夠發展的數學能力、形成的學科觀念、發展的學科基本素養；這項分析能夠使教師獲得本概念對應的“過程性教學目標”.再次，要明確《義務教育數學課程標準（2011 年版）》對此概念的要求，分解出課程標準要求的概念的各要素及其應達到的水平，然后寫出概念教學的三維教學目標。解析概念的本質屬性和教育價值，決定了本節教學目標的確定，實質上，也就決定了教學策略的選擇與設計的方向。

　　例如，反比例函數的概念教學中，反比例函數的定義是形式化定義：“一般地，若兩個變量 x、y 之間的對應關系可以表示成 y=kx（k 是常數，k≠0）的形式，則稱 y 是 x 的反比例函數”.顯然，定義是對其函數關系式的一般特征的描述，只是反比例函數概念描述的兩個變量變化規律：在變化的過程中，兩個變量 x,y 的乘積一定，即 xy=k.正因為其兩個變量乘積一定的本質，才使得其具有 y=kx的形式。其外延是：一切具有 y=kx（k≠0）形式的函數或一切具有乘積一定的變量關系的函數是反比例函數。其數學符號表示可以有三種形式：表達式、圖象和表格；其作用是：分析現實情境中的數量關系，建立反比例函數模型后，利用反比例函數的表達式和圖象、性質可以解決相應的實際問題。

　　反比例函數概念的教育價值是要抽象出反比例函數概念的本質屬性，其教學的過程應該是從情境出發，抽象模型。抽象分兩個角度，一是用表達式描述各個情境中的變量關系，從表達式的共同特征獲得 y=kx的形式特征；二是用表格表示各個情境中的變量關系，讓學生體會變量之間乘積一定的相依變化關系。在這樣的學習過程中，教師應注意發展學生的分析能力和符號意識；同時，要對不同情境下的變量關系（表格和表達式）進行觀察、比較、分析、歸納。反比例函數是一個觀念性概念，建立概念的過程，也是讓學生形成觀念的過程，即在研究問題中分析出具有兩個變量乘積一定的規律時，就能夠有建立反比例函數模型的意識和觀念，并借此解決實際問題。

　　《義務教育數學課程標準（2011 年版）》對反比例函數概念的要求是：“結合具體情境體會反比例函數的意義，能根據已知條件確定反比例函數的表達式”.這一要求與概念內涵解析的結果具有一致性：反比例函數的意義即概念的本質，包括表達式和變化規律；要求在“具體情境中體會”就要有抽象本質、建立模型的過程，確定反比例函數的表達式則是在理解概念基礎上的技能。基于上述分析，可以確定反比例函數概念的教學目標是：經歷從現實情境中抽象反比例函數概念的過程，體會反比例函數所描述的變化規律，能說出反比例函數的定義并能確定其表達式；在抽象反比例函數概念的過程中，發展符號意識、推理能力和抽象思維，體會數學建模的必要性。反比例函數概念教學的主干思路是提供問題情境，讓學生用表達式和表格兩種形式表示其中的變量關系---對兩種形式表示的變量關系進行觀察、比較、分析，歸納其共同特征，抽象概念的本質（表達式和乘積一定的變化規律），得到其形式化定義，明晰概念---進行概念辨析、舉出概念的正例和反例---確定表達式。

　　反比例函數概念的教學策略是：設置三個貼近學生生源的問題情境，并讓學生分析這些問題情境。讓學生用表格表示問題情境中的變量關系，然后回答以下問題：

　　（1）兩個變量的關系是不是函數關系？

　　（2）當自變量均值變化時，因變量是否呈現均值變化的規律？因變量隨自變量的變化有什么規律？

　　（3）用表達式表示兩個變量的關系。之后，教師要幫助學生抽象概念的本質屬性，引發學生思考：

　　（1）以上三個問題情境中，變量的變化規律有什么特征？

　　（2）它們的表達式在形式上有什么共同特征？

　　在這個過程中，學生在問題的引導下經歷“問題情境 - 建立模型-解釋、應用”的過程，發展抽象思維與推理能力，體會模型思想。

　　2.解析概念與其他概念的聯系。

　　解析概念與其他概念的聯系時，一是要分析概念所在的概念體系，明確地畫出概念體系結構圖；二是要分析此概念與其他概念間的橫向聯系和縱向聯系及其研究方法之間的關系。這一分析過程，為設計教學策略提供重要的依據，尤其是在“引入”概念這個環節中，分析能夠讓學生體會研究新概念的必要性，并獲得研究思路。

　　例如，因式分解的概念與其他概念聯系解析如下：

　　橫向聯系：因式分解是將多項式化成整式的乘積形式，是研究分式的化簡、運算的工具，在分式的通分、約分中，常常需要把分子、分母中的多項式化成乘積形式，以便運用分式的基本性質進行化簡。

　　縱向聯系：從小學階段的分解質因數到初中階段的分解因式。小學學過的分解質因數與初中的分解因式具有類似的作用，前者是為了研究分數的通分、約分，需要把一個整數化成幾個因數的乘積形式；而后者是為了研究分式的通分、約分，需要把一個整式化成積的形式，反映出從“數”到“式”的發展過程。

　　根據上述分析，在引入“因數分解”的概念時，可以采用從“數”到“式”的類比，指出引入“因式分解”的概念的必要性，促進概念的形成。

　　3.解析學生學習概念的難點。

　　教師要突破概念學習的難點解析學生學習概念的經驗與困惑時，這個解析越具體、越有價值。具體的分析能夠“突破難點”具有很強的針對性，有利于促進目標的達成。

　　例如：學習反比例函數概念的經驗與困惑分析。

　　經驗：學生在學習“變量之間的關系”時，通過大量實例體會變量之間的關系，并會用表格、圖象、表達式表示變量間的關系；能理解用符號（表格、圖象、表達式）表示的變量關系，并借助這些符號研究變量變化的對應關系和變化趨勢；通過一次函數概念的學習，積累了探究一次函數概念時，既關注抽象表達式的共同特征，又注重用表格體會變量間均值變化的規律的活動經驗，有助于抽象反比例函數的概念。

　　困惑：首先，學生容易發現表達式具有的共同特征，但不容易理解“兩個變量的乘積一定”的變化規律；其次，在抽象出函數概念本質時，提供的現實情境往往會讓學生認為“一個變量增大而另一個變量減小”是反比例函數的本質屬性，因此排除這一非本質屬性是學生認識的一個難點。基于上述分析設計的教學策略是：

　　對第一個困惑，前文已給出具體的策略。即設計幾個問題情境，通過用表格表示變量關系，讓學生在觀察、分析中體會“乘積型”的變化規律，然后抽象表達式的共同特征，可以獲得概念本質，這里用“表格”來表征問題情境中兩個變量的關系，最關鍵的策略。

　　對于學生認為“一個變量總隨著另一個變量增大而減小”是反比例函數本質屬性的問題，可以給出一個y 隨 x 的增大的反比例函數如下表。

　　讓學生思考：以上變量 y 隨 x 的增大怎樣變化？這個例子可以讓學生體會：當 x 從 -5 到 -1 的不斷增大的過程中，y 也從4/5到 4 在不斷地增大，即比例中的 y并不是隨著 x 的增大而減小，其本質是“x 與 y 的乘積不變”,這樣，學生就能排除“反比例函數是一個變量隨著另一個變量的增大而減小”這一非本質屬性，獲得概念的本質：兩個變量的乘積一定。

　　由此可見，在概念學習中，對學生困難的具體分析，是獲得突破難點的教學策略的重要依據。

　　教學策略設計與前三項分析有良好的針對性，概念形成方式的選擇也決定于前三項分析的結果。其中，第一項分析---概念本質屬性和教育價值分分析，是PCK 內涵分析的核心，這一分析決定了概念教學的出發點和落腳點，給出了概念教學的方向，基本決定了獲得概念的方式，也在很大程度上決定了概念教學的過程能否體現這個概念承載的學科素養的發展和知識技能的落實，對整節課的教學效果有著決定性的意義。第二項分析---概念的前后聯系的分析，能幫助教師體會引入概念的必要性，能讓教師看到概念結構體系，從而設計幫助學生獲得概念體系的策略，對概念的理解鞏固有重要意義。第三項分析---學生學習概念的經驗和困惑的分析，則能幫助教師有針對性地設計突破難點的教學策略，使得教學具有明顯的針對性，對提高課堂的有效性有不可低估的作用。

　　總之，在概念教學設計時，對數學概念進行深刻的PCK 內涵解析，是提高概念教學的有效性，使學生在概念學習中能夠提高分析能力、發展學科素養的一個有效措施，值得我們進一步研究。

　　參考文獻：

　　〔1〕楊小麗，我國學者關于數學學科的 PCK 研究綜述及對教師培訓的啟示〔J〕。北京教育學院學報，2010,（6）。

　　〔2〕章 飛，數學教學設計的理論與實踐〔M〕。南京：南京大學出版社，2009.

　　〔3〕蘇耀忠，石頤園。從 PCK 內涵的角度解析“函數概念”的教學〔J〕。教育理論與實踐，2015,（11）。

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