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高二數學《等比數列的前n項和》教學設計
作為一位杰出的教職工，往往需要進行教學設計編寫工作，教學設計一般包括教學目標、教學重難點、教學方法、教學步驟與時間分配等環節。教學設計應該怎么寫才好呢？下面是小編為大家收集的高二數學《等比數列的前n項和》教學設計，僅供參考，希望能夠幫助到大家。
高二數學《等比數列的前n項和》教學設計1
一、教學背景分析
1．教學內容分析
本節課是高中數學（北師大版必修5）第一章第3節第二課時,是“等差數列的前n項和”與“等比數列”內容的延續，與函數等知識有著密切的聯系，也為以后學數列的求和，數學歸納法等做好鋪墊。而且公式推導過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學生今后學習和工作中必備的數學素養，如在“分期付款”等實際問題中也經常涉及到。本節以數學文化背境引入課題有助于提升學生的創新思維和探索精神,是提高數學文化素養和培養學生應用意識的良好載體。
2．學情分析
從學生的思維特點看，很容易把本節內容與等差數列前n項和從公式的形成、特點等方面進行類比，這是積極因素，應因勢利導。不利因素是，本節公式的推導與等差數列前n項和公式的推導有著本質的不同，這對學生的思維是一個突破，另外，對于q = 1這一特殊情況，學生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過程中容易出錯。教學對象是高二理科班的學生，雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，思維盡管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因此片面、不完全。
二．教學目標
依據新課程標準及教材內容，結合學生的認知發展水平和心理特點，確定本節課的教學目標如下：
1.知識與技能目標: 理解等比數列前n項和公式推導方法；掌握等比數列前n項和公式并能運用公式解決一些簡單問題。
2．過程與方法目標：感悟并理解公式的推導過程，感受公式探求過程所蘊涵的從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉化思想，優化思維品質，初步提高學生的建模意識和探究、分析與解決問題的能力。
3.情感與態度目標：通過經歷對公式的探索過程，對學生進行思維嚴謹性的訓練，激發學生的求知欲，鼓勵學生大膽嘗試、勇于探索、敢于創新，磨練思維品質，從中獲得成功的體驗，感受數學的奇異美、結構的對稱美、形式的簡潔美和數學的嚴謹美。
三．重點,難點
教學重點：等比數列前“等比數列的前n項和”項和公式的推導及其簡單應用。
教學難點：公式的推導思想方法及公式應用中q與1的關系。
四．教學方法
啟發引導，探索發現，類比。
五． 教學過程
（一）借助數學文化背境提出問題
在古印度，有個名叫西薩的人，發明了國際象棋，當時的印度國王大為贊賞，對他說：我可以滿足你的任何要求。西薩說：請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格。國王令宮廷數學家計算，結果出來后，國王大吃一驚。為什么呢？
【設計意圖】：設計這個數學文化背境目的是在引入課題的同時激發學生的興趣，調動學習的積極性。故事內容也緊扣本節課的主題與重點。
問題1：同學們，你們知道西薩要的`是多少粒小麥嗎？
引導學生寫出麥粒總數“等比數列的前n項和”
（二）師生互動，探究問題
問題2：“等比數列的前n項和”
有些學生會說用計算器來求（老師當然肯定這種做法，但學生很快發現比較難求。）
問題3：同學們，我們來分析一下這個和式有什么特征？
（學生會發現，后一項都是前一項的2倍）
問題4：如果我們把（1）式每一項都乘以2，就變成了它的后一項，那么我們若在此等式兩邊同以2，得到（2）式：
“等比數列的前n項和”
比較（1）(2）兩式，你有什么發現？（學生經過比較發現：（1）、（2）兩式有許多相同的項）
問題5：將兩式相減，相同的項就消去了，得到什么呢？。（學生會發現：“等比數列的前n項和”
【設計意圖】：這五個問題層層深入，剖析了錯位相減法中減的妙用，使學生容易接受為什么要錯位相減，經過繁難的計算之后，突然發現上述解法，也讓學生感受到這種方法的神奇。
問題6：老師指出這就是錯位相減法，并要求學生縱觀全過程，反思為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？
【設計意圖】：經過繁難的計算之苦后，突然發現上述解法，讓學生對錯位相減法有一個深刻的認識，也為探究等比數列求和公式的推導做好鋪墊。
（三）類比聯想，構建新知
這時我再順勢引導學生將結論一般化。
問題7：如何求等比數列“等比數列的前n項和”的前“等比數列的前n項和”項和“等比數列的前n項和”：
即:“等比數列的前n項和”
(學生相互合作,討論交流，老師巡視課堂，并請學生上臺板演。)
注：學生已有上面問題的處理經驗，肯定有不少學生會想到“錯位相減法”，教師可放手讓學生探究。
將“等比數列的前n項和”兩邊同時乘以公比“等比數列的前n項和”后會得到“等比數列的前n項和”，兩個等式相減后，哪些項被消去，還剩下哪些項，剩下項的符號有沒有改變？這些都是用錯位相減法求等比數列前“等比數列的前n項和”項和的關鍵所在，讓學生先思考，再討論，最后師在突出強調，加深印象。
兩式作差得到“等比數列的前n項和”時，肯定會有學生直接得到“等比數列的前n項和”，不忙揭露錯誤，后面再反饋這個易錯點，從而掌握公式的本質。
【設計意圖】：在教師的指導下，讓學生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學生自己探究公式，從而體驗到學習的成就感。增強學習數學的興趣和學好數學的信心。
問題8:由 “等比數列的前n項和” 得 “等比數列的前n項和”對不對呢？這里的“等比數列的前n項和”能不能等于1呀？等比數列中的公比能不能為1？那么“等比數列的前n項和”時是什么數列？此時“等比數列的前n項和”？你能歸納出等比數列的前n項和公式嗎？ （這里引導學生對“等比數列的前n項和” 進行分類討論，得出公式，同時為后面的例題教學打下基礎。）
再次追問：結合等比數列的通項公式“等比數列的前n項和” ,如何把“等比數列的前n項和” 用“等比數列的前n項和” 、“等比數列的前n項和” 、“等比數列的前n項和” 表示出來？（引導學生得出公式的另一形式）
公式：
“等比數列的前n項和”
注：公式的理解
知三求二：n q a1 an Sn ；
n的含義：項數（通項公式是qn－1）；
q的含義：公比（注意q=1，分類討論）；
錯位相減法：乘公比（作用是構造許多相同項）后錯開一項后再減。
【設計意圖】：通過反問學生歸納，一方面使學生加深對知識的認識，完善知識結構，另一方面使學生由簡單地模仿和接受，變為對知識的主動認識，從而進一步提高分析、類比和綜合的能力。這一環節非常重要，盡管僅僅幾句話，然而卻有畫龍點睛之妙用。
（四）討論交流，延伸拓展
問題9: 探究等比數列前n項和公式，還有其它方法嗎？
“等比數列的前n項和”（學生討論交流，老師指導。依學生的認知水平可能會有以下幾種方法）
（1）錯位相減法
“等比數列的前n項和”（2）提出公比q
“等比數列的前n項和”（3）累加法
【設計意圖】：以疑導思，激發學生的探索欲望，營造一個讓學生主動觀察、思考、討論的氛圍. 這有非常重要的研究價值，是研究性學習和課外拓展的極佳資源，它源于課本，又高于課本，對學生的思維發展有促進作用.
(五) 應用公式，深化理解
例1：在等比數列{ an }中，
(1)已知a1＝3，q＝2，n＝6，求Sn；
(2)已知a1=8，q=1/2，an =1/2，求Sn；
(3)已知a1=－1.5，a4=96，求q與S4；
(4)已知a1=2，S3＝26，求q與a3。
【設計意圖】：初步應用公式，理解等比數列的基本量也可“知三求二”，體會方程思想。
例2：等比數列{ an }中，已知a3＝3/2，S3＝9/2，求a1與q。
【設計意圖】：注意公式中的分類討論思想。
例3：求數列{n+ }的前n項和。
【設計意圖】：將未知問題轉化為已知問題，進一步體會等比數列前n項和公式的應用。
練習1：求等比數列“等比數列的前n項和”前8項和；
練習2：a3= ，S9= ，求a1和q；
練習3：求數列{n+an}的前n項和。
（先由學生獨立求解，然后抽學生板演，教師巡視、指導，講評學生完成情況，尋找學生中的閃光點，給予適時的表揚。)
【設計意圖】：通過練習，深化認識，增加思維的梯度的同時，提高學生的模式識別能力，滲透轉化思想．
（六）總結歸納，加深理解
問題10:這節課你有什么收獲？學到了哪些知識和方法？
【設計意圖】：以問題的形式出現，引導學生回顧公式、推導方法，鼓勵學生積極回答，然后老師再從知識點及數學思想方法等方面總結。以此培養學生的口頭表達能力，歸納概括能力。
（學生小結歸納，不足之處老師補充說明。）
1．公式：等比數列前n項和
當q≠1時,Sn= =
當q=1時, Sn=na1
2．方法：錯位相減法（乘以公比）
3．思想：分類討論（公式選擇）
（七）故事結束，首尾呼應
最后我們回到故事中的問題，可以計算出國王獎賞的小麥約為1.84×1019粒，大約7000億噸，用這么多小麥能從地球到太陽鋪設一條寬10米、厚8米的大道，大約是全世界一年糧食產量的459倍，顯然國王兌現不了他的承諾了。
【設計意圖】：把引入課題時的懸念給予釋疑，有助于學生克服疲倦、繼續積極思維。
（八）課后作業，分層練習
（1）閱讀本節內容，預習下一節內容；
（2） 書面作業：習題P30 8 .10；
（3）拓展作業：求和：“等比數列的前n項和”
【設計意圖】：出選作題的目的是注意分層教學和因材施教，讓學有余力的學生有思考的空間。
高二數學《等比數列的前n項和》教學設計2
一、教材分析
1.從在教材中的地位與作用來看
《等比數列的前n項和》是數列這一章中的一個重要內容，從教材的編寫順序上來看，等比數列的前n項和是第一章“數列”第六節的內容，它是“等差數列的前n項和”與“等比數列”內容的延續、與前面學習的函數等知識也有著密切的聯系。就知識的應用價值上來看，它不僅在現實生活中有著廣泛的實際應用，如儲蓄、分期付款的有關計算等等，而且公式推導過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學生今后學習和工作中必備的數學素養。就內容的人文價值上來看，等比數列的前n項和公式的探究與推導需要學生觀察、分析、歸納、猜想，有助于培養學生的創新思維和探索精神,是培養學生應用意識和數學能力的良好載體。
2.從學生認知角度來看
從學生的思維特點看，很容易把本節內容與等差數列前n項和從公式的形成、特點等方面進行類比，這是積極因素，應因勢利導．不利因素是：本節公式的推導與等差數列前n項和公式的推導有著本質的不同，這對學生的思維是一個突破，另外，對于q = 1這一特殊情況，學生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過程中容易出錯。
3. 學情分析
教學對象是剛進入高二的學生，雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但對問題的分析缺乏深刻性和嚴謹性。
4. 重點、難點
教學重點：公式的推導、公式的特點和公式的運用．
教學難點：公式的推導方法和公式的靈活運用．
公式推導所使用的“錯位相減法”是高中數學數列求和方法中最常用的方法之一，它蘊含了重要的數學思想，所以既是重點也是難點。
二、目標分析
1．知識與技能目標：理解等比數列的前n項和公式的推導方法；掌握等比數列的前n項和公式并能運用公式解決一些簡單問題。
2.過程與方法目標：通過公式的推導過程，培養學生猜想、分析、綜合的思維能力，提高學生的建模意識及探究問題、分析與解決問題的能力，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉化思想，優化思維品質。
3．情感態度與價值觀：通過經歷對公式的探索，激發學生的求知欲，鼓勵學生大膽嘗試、勇于探索、敢于創新，磨練思維品質，從中獲得成功的體驗，感受思維的奇異美、結構的對稱美、形式的簡潔美、數學的嚴謹美。用數學的觀點看問題，一些所謂不可理解的事就可以給出合理的解釋，從而幫助我們用科學的態度認識世界。
三、教學方法與教學手段
本節課屬于新授課型，主要利用計算機輔助教學，
采用啟發探究，合作學習，自主學習等的教學模式.
四、教學過程分析
學生是認知的主體，也是教學活動的主體，設計教學過程必須遵循學生的認知規律，引導學生去經歷知識的形成與發展過程，結合本節課的特點，我按照自主學習的教學模式來設計如下的教學過程，目的是在教學過程中促使學生自主學習，培養自主學習的習慣和意識，形成自主學習的能力。
1．創設情境，提出問題
一個窮人到富人那里去借錢,原以為富人不愿意，哪知富人一口答應了下來,但提出了如下條件：在30天中，富人第一天借給窮人1萬元,第二天借給窮人2萬元,以后每天所借的錢數都比上一天多1萬;但借錢第一天,窮人還1分錢,第二天還2分錢,以后每天所還的錢數都是上一天的兩倍,30天后互不相欠.窮人聽后覺得挺劃算,本想定下來,但又想到此富人是吝嗇出了名的,怕上當受騙,所以很為難。”請在座的同學思考討論一下,窮人能否向富人借錢?
啟發引導學生數學地觀察問題，構建數學模型。
學生直覺認為窮人可以向富人借錢，教師引導學生自主探求，得出：
窮人30天借到的錢：（萬元）
窮人需要還的錢：?
2．學生探究，解決情境
（2）教師緊接著把如何求？的問題讓學生探究，
①若用公比2乘以上面等式的兩邊，得到
②
若②式減去①式，可以消去相同的項，得到：
(分) ≈1073(萬元) ＞ 465（萬元）
由此得出窮人不能向富人借錢
【設計意圖】留出時間讓學生充分地比較，等比數列前n項和的公式推導關鍵是變“加”為“減”，在教師看來這是很顯然的事，但在學生看來卻是“不可思議”的，因此教學中應著力在這兒做文章，從而培養學生的辯證思維能力．
解決情境問題：經過比較、研究，學生發現：（1）、（2）兩式有許多相同的項，把兩式相減，相同的項就可以消去了，得到： ≈1073(萬元) ＞ 465（萬元） 。老師強調指出：這就是錯位相減法，并要求學生縱觀全過程，反思：為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？
【設計意圖】經過繁難的計算之苦后，突然發現上述解法，不禁驚呼：真是太簡潔了，讓學生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗，從而增強學習數學的興趣和學好數 學的信心，同時也為推導一般等比數列前n項和提供了方法。
3．類比聯想，解決問題
這時我再順勢引導學生將結論一般化，設等比數列為，公比為q，如何求它的前n項和？讓學生自主完成，然后對個別學生進行指導。
一般等比數列前n項和：
即
方法：錯位相減法
這里的q能不能等于1？等比數列中的公比能不能為1？q=1時是什么數列？此時sn=？
在學生推導完成之后，我再問：由得
【設計意圖】在教師的指導下，讓學生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學生自己探究公式，從而體驗到學習的愉快和成就感。
4．小組合作，交流展示
探究1．求和
探究2．求等比數列的第5項到第10項的和．
方法1： 觀察、發現：．
方法2：此等比數列的連續項從第5項到第10項構成一個新的等比數列。
探究3：求的前n項和．
【設計意圖】采用變式教學設計題組，深化學生對公式的`認識和理解，通過直接套用公式、變式運用公式、研究公式特點這三個層次的問題解決，促進學生新的數學認知結構的形成．通過以上形式，讓全體學生都參與教學，以此培養學生自主學習的意識．解題時，以學生分析為主，教師適時給予點撥。
5.總結歸納，加深理解
以問題的形式出現，引導學生回顧公式、推導方法，鼓勵學生積極回答，然后老師再從知識點及數學思想方法兩方面總結。
1.等比數列的前n項和公式
2. 數學思想： （1）分類討論 （2）方程思想
3.數學方法： 錯位相減法
【設計意圖】以此培養學生的口頭表達能力，歸納概括能力。
6．當堂檢測
（1）口答：
在公比為q的等比數列中
若，則________，若，則________
若=3，=81，求q及 ，
若 ，求及q.
（2）判斷是非：
① （ ）
② （ ）
③若③且，則
（ ）
【設計意圖】對公式的再認識，剖析公式中的基本量及結構特征，識記公式,并加強計算能力的訓練。
7．課后作業，分層練習
必做： P30習題 1—3 A組 第1題，
選作題1：求的前n項和
(2)思考題：能否用其他方法推導等比數列前n項和公式
．
【設計意圖】布置彈性作業以使各個層次的學生都有所發展. 讓學有余力的學生有思考的空間，便于學生開展自主學習。
五、評價分析
本節課通過推導方法的研究，使學生掌握了等比數列前n項和公式．錯位相減：變加為減，等價轉化；遞推思想：縱橫聯系，揭示本質；學生從中深刻地領會到推導過程中所蘊含的數學思想，培養了學生思維的深刻性、敏銳性、廣闊性、批判性．同時通過展示交流，學生點評，教師總結，使學生既鞏固了知識，又形成了技能，在此基礎上，通過民主和諧的課堂氛圍，培養了學生自主學習、合作交流的學習習慣，也培養了學生勇于探索、不斷創新的思維品質，形成學習能力。
六、教學設計說明
1．情境設置生活化.
本著新課程的教學理念，考慮到高二學生的心理特點，讓學生學生初步了解“數學來源于生活”，采用故事的形式創設問題情景，意在營造和諧、積極的學習氣氛，激發學生主動探究的欲望。
2．問題探究活動化．
教學中本著以學生發展為本的理念，充分給學生想的時間、說的機會以及展示思維過程的舞臺，通過他們自主學習、合作探究,展示學生解決問題的思想方法，共享學習成果，體驗數學學習成功的喜悅.通過師生之間不斷合作和交流，發展學生的數學觀察能力和語言表達能力，培養學生思維的發散性和嚴謹性。
3．辨析質疑結構化．
在理解公式的基礎上,及時進行正反兩方面的“短、平、快”填空和判斷是非練習.通過總結、辨析和反思，強化了公式的結構特征，促進學生主動建構，有助于學生形成知識模塊，優化知識體系。
4．鞏固提高梯度化．
例題通過公式的正用和逆用進一步提高學生運用知識的能力；由教科書中的例題改編而成，并進行適當的變式,可以提高學生的模式識別的能力，培養學生思維的深刻性和靈活性。
5．思路拓廣數學化．
從整理知識提升到強化方法，由課內鞏固延伸到課外思考，變“知識本位”為“學生本位”，使數學學習成為提高學生素質的有效途徑。以生活中的實例作為思考，讓學生認識到數學來源于生活并應用于生活，生活中處處有數學．
6．作業布置彈性化．
通過布置彈性作業，為學有余力的學生提供進一步發展的空間，有利于豐富學生的知識，拓展學生的視野，提高學生的數學素養．
七．教學反思
學生的根據高二學生心理特點、教材內容、遵循因材施教原則和啟發性教學思想，本節課的教學策略與方法我采用規則學習和問題解決策略，即“案例—公式—應用”，案例為淺層次要求，使學生有概括印象。公式為中層次要求，由淺入深，重難點集中推導講解，便于突破。應用為綜合要求，多角度、多情境中消化鞏固所學，反饋驗證本節教學目標的落實。
其中，案例是基礎，使學生感知教材；公式為關鍵，使學生理解教材；練習為應用，使學生鞏固知識，舉一反三。
在這三步教學中，以啟發性強的小設問層層推導，輔之以學生的分組小討論并充分運用直觀完整的板書和計算機課件等教輔用具、手段，改變教師講、學生聽的填鴨式教學模式，充分體現學生是主體，教師教學服務于學生的思路，而且學生通過“案例—公式—應用”，由淺入深，由感性到理性，由直觀到抽象，不僅加深了學生理解鞏固與應用，也培養了
思維能力。
這節課總體上感覺備課比較充分，各個環節相銜接，能夠形成一節完整就為系統的課。本節課教學過程分為導入新課、公式推導、合作探究、課堂小結、當堂檢測、布置作業。本節課總體上講對于內容的把握基本到位，對學生的定位準確，教學過程中留給學生思考的時間，以學生為主體。
.亮點之處：
學生成為課堂的主體，教師要甘當學生的綠葉
由于數學的抽象、思維嚴謹等特點，學生往往對于一些較為復雜或者變化多樣的題目容易望而生畏，出現懶得動腦思考、動筆去做的現象。教師也常因為時間的限制不可能給學生過多的時間去做“無用功”。在本節課上我放手讓學生去思考，讓學生去摸索。不怕學生出錯，就是讓學生能夠在摸索中增強思維能力、解題技能和計算經驗。特別是在例3中，教師針對題目做了簡要的分析和提示，讓學生去嘗試著解題。張漫同學的板書詳盡，將思路方法概括表述出來，過程完整。只是結果出現了一個小錯誤，教師在點評過程中給予指出，同時也個結果錯誤也是學生經常犯的。
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