冪的乘方與積的乘方教案設計

冪的乘方與積的乘方教案設計

　　●教學目標

　　(一)教學知識點

　　1.經歷探索冪的乘方的運算性質的過程，進一步體會冪的意義.

　　2.了解冪的乘方的運算性質，并能解決一些實際問題.

　　(二)能力訓練要求

　　1.在探索冪的乘方的運算性質的過程中，發展推理能力和有條理的表達能力.

　　2.學習冪的乘方的運算性質，提高解決問題的能力.

　　(三)情感與價值觀要求

　　在發展推理能力和有條理的表達能力的同時，進一步體會學習數學的興趣，培養學習數學的信心，感受數學的內在美.

　　●教學重點

　　冪的乘方的運算性質及其應用.

　　●教學難點

　　冪的運算性質的靈活運用.

　　●教學方法

　　引導——探究相結合

　　教師由實際情景引導學生探究冪的乘方的運算性質，并能靈活運用.

　　●教具準備

　　小黑板

　　●教學過程

　　Ⅰ.提出問題，引入新課

　　［師］我們先來看一個問題：

　　一個正方體的邊長是102毫米，你能計算出它的體積嗎？如果將這個正方體的邊長擴大為原來的10倍，則這個正方體的體積是原來的多少倍？

　　［生］正方體的體積等于邊長的立方.所以邊長為102毫米的正方體的體積V=(102)3立方毫米；如果邊長擴大為原來的10倍，即邊長變為102×10毫米即103毫米，此時正方體的體積變為V1=(103)3立方毫米.

　　［師］(102)3，(103)3很顯然不是最簡，你能利用冪的意義，得出最后的結果嗎？大家可以獨立思考.

　　［生］可以.根據冪的意義可知(102)3表示三個102相乘，于是就有(102)3=102×102×102=102+2+2=106；同樣根據冪的意義可知(103)3=103×103×103=103+3+3=109.于是我們就求出了V=106立方毫米，V1=109立方毫米.

　　我們還可以計算出當這個正方形邊長擴大為原來的10倍時，體積就變為原來的1000倍即103倍.

　　［生］也就是說體積擴大的倍數，遠大于邊長擴大的倍數.

　　［師］是的！我們再來看(102)3，(103)3這樣的運算.102，103是冪的形式，因此我們把這樣的運算叫做冪的乘方.這節課我們就來研究冪的第二個運算性質——冪的乘方.

　　Ⅱ.探索冪的乘方的運算性質

　　做一做：計算下列各式并說明理由.

　　(1)(62)4；(2)(a2)3;(3)(am)2;(4)(am)n.

　　［師］我們觀察不難發現，上面的4個小題都是冪的乘方的運算，下面就請同學們利用冪的意義和我們學習過的內容解答它們.

　　［生］(1)(62)4 62?62?62?62 62+2+2+2=68.

　　［師］第①步和第②步推出的理由是什么呢？

　　［生］第①步的理由是利用了冪的意義.(62)4表示4個62相乘；第②步的理由是利用了我們剛學過的同底數冪的乘法：底數不變，指數相加.

　　［師］觀察上面的運算過程，底數和指數發生了怎樣的變化？

　　［生］結果的指數8=2×4，剛好是原式子中兩個指數的積，而運算前后的底數沒變，還是6.

　　［師］接下來的(2)、(3)、(4)小題是不是可以同樣地利用冪的意義和同底數冪的乘法的性質來推出結果呢？

　　［生］可以！

　　［師］下面我們就請三位同學到黑板上推出，其余的同學觀察他們做的有無錯誤.

　　［生］(2)(a2)3=a2?a2?a2=a2+2+2=a6=a2×3;

　　(3)(am)2=am?am=am+m=a2m;

　　(4)(am)n=

　　= =amn.

　　［師生共析］由上面的“做一做”我們就推出了冪的乘方的運算性質，即

　　(am)n=amn(m,n都是正整數)

　　用語言表述即為：冪的乘方，底數不變，指數相乘.

　　在冪的乘方的運算中，指數的運算也降了一級.

　　Ⅲ.例題

　　出示投影片(§1.4.1 B)

　　［例1］計算：

　　(1)(102)3；(2)(b5)5;(3)(an)3;

　　(4)－(x2)m;(5)(y2)3?y;(6)2(a2)6－(a3)4.

　　［例2］如果甲球的半徑是乙球的n倍，那么甲球的體積是乙球的n3倍.

　　地球、木星、太陽可以近似地看做是球體.木星、太陽的半徑分別約是地球的10倍和102倍，它們的體積分別約是地球的多少倍？

　　［師］我們首先看例1的(1)、(2)、(3)題，可以發現它們都是冪的乘方的運算.我們開始練習冪的乘方的運算性質，不要著急直接套入公式(am)n=amn中，而應進一步體會乘方的意義和冪的意義.我們只要明白了算理，熟悉后就可直接代入，下面就請幾個同學回答.

　　［生］(1)(102)3=102?102?102=102+2+2=102×3=106；

　　(2)(b5)5=b5?b5?b5?b5?b5=b5+5+5+5+5=b5×5=b25;

　　(3)(an)3=an?an?an=an+n+n=a3n.

　　［師］很好！下面我們再來試做例1中(4)、(5)、(6)題.

　　［生］(4)－(x2)m表示(x2)m的相反數，所以－(x2)m=－ =－ =－x2m;

　　(5)(y2)3?y中既含有乘方運算，也含有乘法運算，按運算順序，應先乘方，再做乘法，所以，(y2)3?y=(y2?y2?y2)?y=y2×3?y=y6?y=y6+1=y7;

　　(6)2(a2)6－(a3)4按運算順序應先算乘方，最后再化簡.所以

　　2(a2)6－(a3)4=2a2×6－a3×4=2a12－a12=a12.

　　［師］接下來，我們再來看冪的乘方在實際中的應用——例2.

　　［生］根據例2中的前提條件，可得

　　木星的體積是地球體積的103倍；太陽的體積是地球體積的(102)3倍即106倍.

　　［師］很好！我們觀察例2圖中的木星、太陽、地球的體積不難發現這個圖直觀地表現了體積擴大的倍數與半徑擴大的倍數之間的關系.比較木星、太陽、地球三個球體的大小，可知體積擴大的倍數比半徑擴大的倍數大得多.

　　Ⅳ.練一練

　　1.計算：

　　(1)(103)3；(2)－(a2)5;(3)(x3)4?x2;

　　(4)［(－x)2］3;(5)(－a)2(a2)2;

　　(6)x?x4－x2?x3.

　　2.判斷下面計算是否正確？如有錯誤請改正：

　　(1)(x3)3=x6;(2)a6?a4=a24.

　　［師］我們首先來回顧一下(am)n=amn(m、n都是正整數)是怎樣推出來的.

　　［生］(am)n表示n個am相乘，根據乘方的意義(am)n= ，再根據同底數冪的乘法的運算性質，可由 = =amn.

　　［師］我們能夠很好地體會和理解了冪的意義和同底數冪乘法的運算性質，接下來我們就來完成“練一練”.

　　［生］1.解：(1)(103)3=103×3=109；

　　(2)－(a2)5=－a2×5=－a10;

　　(3)(x3)4?x2=x3×4?x2=x12?x2=x12+2=x14;

　　(4)［(－x)2］3=(－x)2×3=(－x)6=x6;

　　(5)(－a)2?(a2)2=a2?a2×2=a2?a4=a2+4=a6;

　　(6)x?x4－x2?x3=x1+4－x2+3=x5－x5=0.

　　［師］2.(1)(x3)3=x6不正確，因為(x3)3表示三個x3相乘即x3?x3?x3=x3+3+3=x3×3=x9.或直接根據冪的乘方的運算性質：底數不變，指數相乘，得(x3)3=x3×3=x9.

　　(2)a6?a4=a24不正確.因為a6?a4=(a?a?a?a?a?a)(a?a?a?a)= =a10或根據同底數冪乘法的運算性質：底數不變，指數相加，得a6?a4=a6+4=a10.

　　［師］我們學習了冪的乘方的運算性質很容易與同底數冪的乘法的運算性質混淆.通過練習的第2題，同學們可反思一下做題的過程，注意冪的意義和乘方的意義，真正地去理解這兩個冪的運算性質，而不是去單純的記憶.

　　Ⅴ.課時小結

　　我們這節課通過乘方的意義和冪的意義推出了冪的乘方的運算性質，并通過實際問題體會到了學習這個性質的必要性，從而提高了我們的推理能力，有條理的語言表達能力和解決實際問題的能力.

　　Ⅵ.課后作業

　　1.課本P16，習題1.5的第1、2、3題.

　　2.反思做題過程，自己對出現的錯誤加以改正，并寫入成長記錄中.

　　關于它的證明在以后學習了數學歸納法后一目了然.

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