三談“最小的一位數”

                               王玉璞

    為了把這個是與非的問題辯得更加明晰，不得不把網上的另一種沖淡是非、模棱兩可的所謂“公說公有理，婆說婆有理”的說法加以必要的剖析。請看下面這段文章：

《首先要搞清楚問題的范圍。一般來說，只考慮整數和正整數兩個范圍。在整數范圍內，最小的一位數是-9；在正整數范圍內，最小的一位數是1。如果必須要考慮自然數范圍，那么在自然數范圍內規定：最小的一位數是0。》，這段文章是國內某兩所師范大學的著名教授在其《關于數學教學中的一些問題》的“小學階段問題1：最小的一位數是幾？”中的全部敘述。是以全面概括、總結和指導的角度加以敘述的，由于又是兩位名人，名人就有名人效應，于是就在網上又引領出“在整數范圍內，最小的一位數是-9；在正整數范圍內，最小的一位數是1；在自然數范圍內，最小的一位數是0。”的一股潮流。這讓小學老師們更加莫衷一是，讓孩子們更加一頭霧水。因此我們必須逐句剖析它的錯誤和問題：

    一、文章中的第一句話“首先要搞清問題的范圍。”是對的，討論數學問題，應該先明確該問題的范圍。可問題是你劃分范圍的方法是否科學、合理。在0不被認為是自然數的年代，人們曾把整數劃分成“負整數”、“0”和“正整數”；在與國際接軌而把0劃歸自然數以后，0和正整數理應合并成自然數，不要再把0從自然數中剔除出來而得出一個正整數。也就是說，現在把整數劃分成“負整數”和“自然數（非負整數）”兩個范圍更科學、合理。該文章卻把范圍劃分成“整數”、“正整數”和“自然數”三種，是否科學、合理， 一比較自明。

    二、“在整數范圍內，最小的一位數是-9；”這個結論也是對的，把這句話也可以說成“在負整數范圍內，最小的一位數是-9”。這個結果是“在自然數范圍內，最大的一位數是9”的鏡像結果，“在自然數范圍內，最大的兩位數是99“，其鏡像結果就是“在負整數范圍內，最小的兩位數是-99”……，如此而已。問題的要害是文章的開頭已經限定了“小學階段問題1：最小的一位數是幾？”，在五年制小學里，根本還沒學負數，卻把“-9”的結果拋出來，不知作者的用意為何？莫非文章作者還要把“在虛數范圍內，最小的一位數”也拋出來？！

    三、“在正整數范圍內，最小的一位數是1。”是這段文章中最需要辨明的地方。否則，會出現“最小的一位數是0，對！那是在自然數范圍內：最小的一位數是1，也對！那是在正整數范圍內。”所謂“公說公有理，婆說婆有理”的狀態。那么在正整數范圍內，最小的一位數真的是1嗎？不是！為什么不是？因為文章作者所謂的正整數，實際上就是自然數被剔除了0所剩下的部分，0被剔除了，最小的一位數就被剔除了，不存在了，因此，如果非要不科學地把0從自然數中剔除出去成為一個正整數，其最小的一位數也不是1，而是不存在！用反證的方法：如果最小的一位數是1，則最小的兩位數等于最小的十位數（1）加上最小的個位數（1）,等于11，同理可推出：最小的三位數是111，最小的四位數是1111等等，導致錯誤結果，因此，最小的一位數不是1！

    四、文章中的“一般來說，只考慮整數和正整數兩個范圍。”與實際情況完全不符合！五年制的小學還沒學負數你如何只考慮整數范圍？你如果舍棄了自然數范圍而只考慮正整數范圍，就會導致1-1=0這樣簡單的運算都無法進行。在小學階段，自然數范圍才是應該考慮的范圍！奇怪的是，文章作者在自然數范圍前面卻加上了“如果必須要考慮”的限定條件，實在讓人費解！

    從以上四點剖析不難看出，教授們的這篇文章對小學的教學工作沒有指導效果，反倒起了沖淡是非的作用，因此，由它而引領的潮流也應該休矣！

后記：

本人已經70多歲了，是一名大企業的退休人員，對教學、對數學都是外行。僅僅是由于發現了孩子們在學習中遇到如此的具體問題而學校和社會又遲遲拿不出令人信服的結論，很是憂心，不愿意看到在一個泱泱大國里讓一個小小的數學問題擾得沸沸揚揚而莫衷一是。和眾多家長一樣，我希望孩子們在各個學科中，從小就能受到“概念清晰，邏輯嚴謹”的教育，所以才不知深淺地、一而再，再而三地、一發而不可收地發表了如上的看法，如有偏頗，十分愿意和大家討論，我的郵箱是wyp4419@163.com

    當然，解鈴還得系鈴人，盼望各級教育部門、各位教育家、各位教授、各位老師趕緊把存在的問題糾正過來，不要因為這樣的小問題而長期影響我們的教學質量。

    最后，借此機會，感謝尹瑞文老師管理的公益網站給我發表看法所提供的方便！

                 王玉璞  2016/6/16