主要內容
比例尺、面積變化、確定位置
學習目標
1、使學生在具體情境中理解比例尺的意義，能看懂線段比例尺。會求一幅圖的比例尺，能按給定的比例尺求相應的實際距離或圖上距離，會把數值比例尺與線段比例尺進行轉化。
2、使學生在經歷“猜想－驗證”的過程中，自主發現平面圖形按比例放大后面積的變化規律。
3、在解決問題的過程中，進一步體會比例以及比例尺的應用價值，感知不同領域數學內容的內在聯系，增強用數和圖形描述現實問題的意識和能力，豐富解決問題的策略。
4、使學生在具體情境中初步理解北偏東（西）、南偏東（西）的含義，初步掌握用方向和距離確定物體位置的方法，能根據給定方向和距離在平面圖上確定物體的位置或描述簡單的行走路線。
5、使學生在用方向和距離確定物體位置的過程中，進一步培養觀察能力、識圖能力和有條理的進行表達的能力。發展空間觀念。
6、使學生積極參與觀察、測量、畫圖、交流等活動，獲得成功的體驗，體會數學知識與生活實際的聯系，拓展知識視野，激發學習興趣。
考點分析
1、圖上距離和實際距離的比，叫做這幅圖的比例尺。
2、比例尺 = ，比例尺有兩種形式：數值比例尺和線段比例尺。
3、把一個平面圖形按照一定的倍數（n）放大或縮小到原來的幾分之一（ ）后，放大（或縮小）后與放大（或縮小）前圖形的面積比是n:1（或1:n）。
4、知道 了物體的方向和距離，就能確定物體的位置。
5、根據物體的位置，結合比例尺的相關知識，可以在平面圖上畫出物體的位置。畫的時候先按方向畫一條射線，在根據圖上距離找出點所在的位置。
6、描述行走路線要依次逐段地說，每一段都應說出行走的方向與路程。
典型例題：
例1、（認識比例尺）
王伯伯家有一塊長方形的菜地，長40米，寬30米。把這塊菜地按一定的比例縮小，畫在平面圖上長4厘米，寬3厘米。你能分別寫出菜地長、寬的圖上距離和實際距離的比嗎？
分析與解：圖上距離和實際距離的單位不同，先要統一成相同的單位，寫出比后再化簡。
40米 = 4000厘米 3厘米 = 0.03米
= = =
圖上距離和實際距離的比，叫做這幅圖的比例尺。
圖上距離 : 實際距離 = 比例尺或 = 比例尺
圖上距離和實際距離的比是1:1000，這幅圖的比例尺是1:1000，也可寫成 ，仍讀作1比1000。
點評：求一幅地圖的比例尺是一種比較簡單的題目。做的時候唯一要注意的就是末尾0的問題：一是米、千米化成厘米的時候要在米、千米那個數的末尾加上2、5個0；二是在求比例尺的結果時要注意0的個數。多數一數、想一想，是不會有錯的。
例2、（對比例尺的理解及比例尺的兩種表示方法）
比例尺1:1000表示圖上距離是實際距離的幾分之幾？實際距離是圖上距離的多少倍？圖上1厘米表示實際距離多少米？
分析與解：比例尺1:1000表示圖上距離是實際距離的 ，實際距離是圖上距離的1000倍，圖上1厘米的距離代表實際距離1000厘米，即10米。
像形如1:1000這樣的比例尺叫做數值比例尺。比例尺1:1000還可以這樣表示
0 10 20 30米
，這是線段比例尺，它表示圖上1厘米的距離代表實際距離10米。
例3、一個手表零件長2毫米，畫在一幅圖上長4厘米，這幅圖的比例尺是多少？
錯誤解法：4厘米 = 40毫米 2 : 40 = 1 : 20
思路分析：無論什么樣的圖紙，比例尺始終是圖上距離與實際距離的比，根據比例尺的定義，用“圖上距離 : 實際距離 = 比例尺”去求。
正確解答：4厘米 = 40毫米 40 : 2 = 20 : 1
點評：比例尺通常情況下都應該寫成前項是1的比。但比例尺的作用除了把實際距離縮小，還可以把實際距離擴大，這樣比例尺的前項就比后項大，這時后項通常化成1。在解答時，只要堅持好“圖上距離 : 實際距離 = 比例尺”，圖上距離在前就可以了。
例4、（根據比例尺求圖上距離或實際距離）
在比例尺是 的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是2.5厘米。兩地的實際距離是多少米？
分析與解：方法1：比例尺是 ，說明實際距離是圖上距離的60000倍。
2.5×60000 = 150000（厘米）
150000（厘米）= 1500米
方法2：比例尺是 ，也就是圖上1厘米的距離代表實際距離60000厘米，即600米。
2.5×600 = 1500（米）
方法3：根據 = 比例尺，可以用“圖上距離 ÷ 比例尺”或“解比例”的方法來求實際距離。
2.5 ÷ = 2.5×60000 = 150000（厘米）= 1500米
解：設兩地的實際距離是ⅹ厘米。
=
1ⅹ = 2.5 × 60000
ⅹ = 150000
150000（厘米）= 1500米
答：兩地的實際距離是1500厘米。
例5、（平面圖形按照一定的比放大后，面積擴大了比的平方倍）
下面的大長方形是由一個小長方形按比例放大后得到的圖形。分別量出它們的長和寬，算算大長方形與小長方形面積的比是幾比幾。
分析與解：量得小長方形的長是2.5厘米，寬是1厘米；大長方形的長是7.5厘米，寬是3厘米。大長方形與小長方形長的比是7.5 : 2.5 = 3 : 1，寬的比是3 : 1。
= = × = 9 : 1 = 3 : 1
答：大長方形與小長方形面積的比是9 : 1。
例6、（認識北偏東（西）若干度、南偏東（西）若干度等方向）
如圖，一輛汽車向正北方向行駛，你能說出商場和書店分別在汽車的什么方向嗎？
N
商場 北
45
60 書店
0 3 6 9千米
汽車
分析與解：從圖上可以看出，以汽車為中心，書店在汽車的東北方向，商場在汽車的西北方向。
怎樣才能更準確地表示它們的位置呢？
東北方向也叫做北偏東方向，書店在汽車的北偏東60方向。
西北方向也叫做北偏西方向，商場在汽車的北偏西45方向。
答：書店在汽車的北偏東60方向，商場在汽車的北偏西45方向。
例7、（知道了物體的方向和距離，才能確定物體的具體位置）
量出上圖中書店到汽車的圖上距離，根據比例尺算一算，書店在汽車北偏東60方向的多少千米處？商場呢？
分析與解：從圖中量得書店和商場到汽車的圖上距離分別是1.2厘米和2.3厘米，根據比例尺，圖上距離1厘米代表實際距離3千米，分別算出實際距離。
1.2 × 3 = 3.6（千米）┄┄┄書店
2.3 × 3 = 6.9（千米）┄┄┄商場
答：書店在汽車北偏東60方向的3.6千米處，商場在汽車北偏西45方向的6.9千米處。
點評：只有在方向詞的后面添上角的度數，才能準確描述物體所在的位置。確定方向時，一定要先確定好南或北，再看是偏東還是偏西，如果圖中沒有畫線，要先連線。算實際距離就根據前面比例尺的相關知識去求。
例8、（辨析）書店在汽車的北偏東60方向，表示汽車也在書店的北偏東60方向。
分析與解：書店在汽車的北偏東60方向，是以汽車為中心，由北向東旋轉60；而以書店為中心，汽車在書店的西南方向，即南偏西60方向。
書店在汽車的北偏東60方向，表示汽車在書店的南偏西60方向。
例9、（根據給定的方向和距離，有序地確定物體的具體位置）
海面上有一座燈塔，燈塔北偏西30方向30千米處是鳳凰島。
N
北
W西 東E
燈塔
0 10 20 30千米
南
S
你能在圖上指出鳳凰島大約在什么位置嗎？
分析與解：（1）先確定北偏西30的方向，畫一條射線。
N
30
燈塔
（2）再算出燈塔到鳳凰島的圖上距離是多少厘米。
30 ÷ 10 = 3（厘米）
鳳凰島 ● N
30
燈塔
點評：在表示鳳凰島的具體位置時，先要畫出表示方向的射線，再確定燈塔到鳳凰島的圖上距離。且在畫表示方向的射線時，應從表示燈塔的點開始畫起，并注意正確擺好量角器。
例10、（用方向和距離描述簡單的行走路線）
下圖是某市旅游1號車行駛的線路圖，請根據線路圖填空。
（1）旅游1號車從起點站出發，向（ ）行駛到達青水公園，再向（ ）偏（ ）（ ）的方向行（ ）千米到達抗戰紀念碑。
（2）由綠博園向南偏（ ）（ ）的方向行（ ）千米到達購物中心，再向北偏（ ）（ ）的方向行（ ）千米到達人民公園。
分析與解：先找準方向，再說出具體的路程。（1）旅游1號車從起點站出發，向（ 東 ）行駛到達青水公園，再向（ 北 ）偏（東）（40）的方向行（1.8 ）千米到達抗戰紀念碑。
（2）由綠博園向南偏（東）（60）的方向行（1.7）千米到達購物中心，再向北偏（ 東 ）
（70）的方向行（1.5）千米到達人民公園。
點評：在進行描述的時候，一定要先說清楚方向再說路程。說方向的時候為了說清楚，通常情況下不用東北、西北、東南、西南等說法，而用南偏東、南偏西、北偏東、北偏西多少度的說法更為準確。
小學數學總復習專題講解及訓練（七）
模擬試題
１、說出下面各比例尺表示的意思。
1∶40000
2、判斷：
①小華在繪制學校操場平面圖時，用20厘米的線段表示地面上40米的距離，
這幅圖的比例尺為1︰2。 ┈┈┈┈ （ ）
②某機器零件設計圖紙所用的比例尺為1︰1，
說明了該零件的實際長度與圖上是一樣的 ┈┈┈┈ （ ）
③一幅圖的比例尺是6︰1，這幅圖所表示的實際距離大于圖上距離。┈┈┈ （ ）
3、選擇：
①如果某圖紙所用的比例尺小于1，那么這幅圖所表示的圖上距離（ ）實際距離。
A.小于 B.大于 C.等于
②學校操場長100米，寬60米，在練習本上畫圖，選用（ ）作比例尺較合適。
A.1︰20 B.1︰2000 C.1︰200
4、一幅地圖的線段比例尺是 ，這幅圖上3厘米表示實際距離多少千米？
5、 一種精密零件，畫在圖上是12厘米，而實際的長度是3毫米。求這幅圖的比例尺。
6、英華小學有一塊長120米、寬80米的長方形操場，畫在比例尺為1 ：4000的平面圖上，長和寬各應畫多少厘米？
7、在比例尺為1 ：200000的一幅地圖上， 城和 城相距5厘米，兩城實際相距多少千米？
8、 一幅地圖的線段比例尺是：
0 40 80 120 160千米，甲乙兩城在
這幅地圖上相距18厘米，兩城間的實際距離是多少千米？丙丁兩城相距660千米，在這幅地圖上兩城之間的距離是多少厘米？
9、在一幅比例尺為1:500的平面圖上量得一間長方形教室的長是3厘米，寬是2厘米。
（1）求這間教室的圖上面積與實際面積。
（2）寫出圖上面積和實際面積的比。并與比例尺進行比較。
10、下圖是按1︰50000的比例尺繪出的方位圖。說一說商店、公園、電影院的位置。
電影院
●30
● ●
40 廣場 公園
● 商店
（1）公園在廣場的東面（ ）千米處。
（2）電影院在廣場的（ ）偏（ ）（ ）方向（ ）千米處。
（3）商店在廣場的（ ）。
11、小明家在百貨商場的北偏西40°方向2500米處，圖書館在農業銀行東偏南40°方向1500米處。下面是小明坐出租車從家去圖書館的路線圖。已知出租車在3千米以內（含3千米）按起步價9元計算，以后每增加1千米車費就增加2元。請你按圖中提供的信息算一算，小明一共要花多少元出租車費？
參考答案：
１、說出下面各比例尺表示的意思。
1∶40000 表示圖上距離是實際距離的 ，實際距離是圖上距離的40000倍，圖上1厘米的距離代表實際距離40000厘米，即400米。
表示圖上1厘米的距離代表實際距離200千米。
2、判斷：
①小華在繪制學校操場平面圖時，用20厘米的線段表示地面上40米的距離，這幅圖的比例尺為1︰2。 ┈┈┈┈ （ × ）
②某機器零件設計圖紙所用的比例尺為1︰1，說明了該零件的實際長度與圖上是一樣的。 ┈┈┈┈ （ √ ）
③一幅圖的比例尺是6︰1，這幅圖所表示的實際距離大于圖上距離。┈┈┈ （ × ）
3、選擇：
①如果某圖紙所用的比例尺小于1，那么這幅圖所表示的圖上距離（ A ）實際距離。
A.小于 B.大于 C.等于
②學校操場長100米，寬60米，在練習本上畫圖，選用（ B ）作比例尺較合適。
A.1︰20 B.1︰2000 C.1︰200
4、一幅地圖的線段比例尺是 ，這幅圖上3厘米表示實際距離多少千米？這幅圖上3厘米表示實際距離6千米。
5、 一種精密零件，畫在圖上是12厘米，而實際的長度是3毫米。求這幅圖的比例尺。
圖上距離 : 實際距離 = 比例尺
12厘米 = 120毫米 120 : 3 = 40 : 1
答：這幅圖的比例尺是40 : 1。
6、 英華小學有一塊長120米、寬80米的長方形操場，畫在比例尺為1 ：4000的平面圖上，長和寬各應畫多少厘米？
長：120米 = 12000厘米 12000 × = 3厘米
寬：80米 = 8000厘米 8000 × = 2厘米
答：長應畫3厘米，寬應畫2厘米。
7、在比例尺為1 ：200000的一幅地圖上， 城和 城相距5厘米，兩城實際相距多少千米？
5 ÷ = 1000000厘米 = 10千米
答：兩城實際相距10千米。
8、 一幅地圖的線段比例尺是：
0 40 80 120 160千米，甲乙兩城在
這幅地圖上相距18厘米，兩城間的實際距離是多少千米？丙丁兩城相距660千米，在這幅地圖上兩城之間的距離是多少厘米？
18 × 40 = 720千米
660 ÷ 40 = 16.5厘米 或 66000000 × = 16.5厘米
答：兩城間的實際距離是720千米，在這幅地圖上兩城之間的距離是16.5厘米。
9、在一幅比例尺為1:500的平面圖上量得一間長方形教室的長是3厘米，寬是2厘米。
（1）求這間教室的圖上面積與實際面積。
圖上面積：3 × 2 = 6平方厘米
實際長：3 × 500 = 1500厘米 實際寬：2 × 500 = 1000厘米
實際面積：1500 × 1000 = 1500000平方厘米 = 150平方米
答：這間教室的圖上面積6平方厘米，實際面積是150平方米。
（2）寫出圖上面積和實際面積的比。并與比例尺進行比較。
圖上面積和實際面積的比是：6 : 1500000 = 1 : 250000
與比例尺進行比較1 : 250000 = （1:500）
10、下圖是按1︰50000的比例尺繪出的方位圖。說一說商店、公園、電影院的位置。
電影院
●30
● ●
40 廣場 公園
● 商店
（1）公園在廣場的東面（ 0.75 ）千米處。
量得公園到廣場的圖上距離是1.5厘米，1.5 × 50000 = 75000厘米 = 0.75千米
（2）電影院在廣場的（ 北 ）偏（ 東 ）（ 60 ）方向（ 0.75 ）千米處。
（3）商店在廣場的（ 南偏西 50方向1.5千米處 ）。量得商店到廣場的圖上距離是3厘米
11、小明家在百貨商場的北偏西40°方向2500米處，圖書館在農業銀行東偏南40°方向1500米處。下面是小明坐出租車從家去圖書館的路線圖。已知出租車在3千米以內（含3千米）按起步價9元計算，以后每增加1千米車費就增加2元。請你按圖中提供的信息算一算，小明一共要花多少元出租車費？
由圖中信息可知小明家到百貨商場有2500米，百貨商場到農業銀行與農業銀行到圖書館都是1500米，小明坐出租車從家去圖書館一共要行2500 + 1500 + 1500 = 5500米，需要車費：9 + 2 × （5.5 – 3）= 14元