第八單元 解決問題
一、教 學(xué) 目 標
1．使學(xué)生經(jīng)歷從實際生活中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的過程，學(xué)會用兩步計算解決問題。
2．感受數(shù)學(xué)在日常生活中的作用，初步形成綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。
二、教學(xué)內(nèi)容
1．本單元的主要內(nèi)容有：運用乘法（或除法）、乘法和除法兩步計算解決問題；運用乘法和加法（或減法）、除法和減法（或加法）兩步計算解決問題。
2．義務(wù)教材是在六年制六冊教學(xué)“連乘連除應(yīng)用題”。現(xiàn)在不在分類型、分步數(shù)編排應(yīng)用題，除了與計算結(jié)合進行編排外，還設(shè)立了這樣的單獨單元來教學(xué)，加強解決問題能力的培養(yǎng)。
解應(yīng)用題：關(guān)注結(jié)構(gòu)→分清條件問題（表格式）―――→算式
解決問題：關(guān)注情境→理解情節(jié)內(nèi)容（圖畫式）―――→算法
三、編排特點
1．重視培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。
關(guān)于解決問題，《標準》中第一學(xué)段的教學(xué)目標是：“能在教師引導(dǎo)下，從日常生活中發(fā)現(xiàn)并提出簡單的數(shù)學(xué)問題。了解同一問題可以有不同的解決辦法。有與同伴合作解決問題的體驗。初步學(xué)會表達解決問題的大致過程和結(jié)果。”本單元教材努力為培養(yǎng)學(xué)生解決問題能力創(chuàng)造條件。
首先，教材以學(xué)校生動活潑的內(nèi)容為素材，展示實際活動中的計算問題。生活中有許多數(shù)學(xué)問題，教材從學(xué)校生活選材，使學(xué)生產(chǎn)生親切感，利于加深學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的基本含義的理解。同時，讓學(xué)生運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，去分析、選擇解決問題的方法，進而解決問題，使學(xué)生經(jīng)歷與同伴合作解決問題的過程，并體會同一個問題可以有不同的解決辦法，感受數(shù)學(xué)知識在生活中的應(yīng)用……讓學(xué)生在解決問題的過程中，學(xué)習(xí)從數(shù)學(xué)角度觀察、分析、解決實際問題，對于培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力有著重要作用。
其次，教材為學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決問題提供了豐富的資源。練習(xí)二十三中16道習(xí)題，反映多方面的具體情境和問題。有小學(xué)生自己的活動事例，跑步鍛煉、游泳、貼照片、劃船；有學(xué)生身邊的生活事例，家庭產(chǎn)生垃圾、一座樓房里的住戶、一家人去參觀，兒童劇場的演出……還有餐飲服務(wù)、運輸、整理圖書、飼養(yǎng)猩猩、啄木鳥和青蛙捉害蟲等方面的具體問題。讓學(xué)生運用數(shù)學(xué)解決各方面的實際問題，讓學(xué)生了解生產(chǎn)、生活中有許許多多數(shù)學(xué)問題，感受數(shù)學(xué)在現(xiàn)實世界中有著廣泛的應(yīng)用。同時，使學(xué)生多次經(jīng)歷解決問題的過程，受到解決問題能力的訓(xùn)練，這對于發(fā)展學(xué)生的解決問題能力同樣是十分重要的。
2．體現(xiàn)解決問題策略多樣化。
教材呈現(xiàn)給學(xué)生解決問題的內(nèi)容，注意體現(xiàn)解決問題策略的多樣化。每一個例題展示了不同學(xué)生想出的不同解決辦法，使學(xué)生了解同一問題可以有不同的解決方法。練習(xí)中給學(xué)生提供的習(xí)題，有的情景圖中蘊涵有解決問題的多種信息，揭示了可以從不同角度觀察選擇信息，采用不同的方法解決問題。例如第3題，學(xué)生可以從先算出每層多少瓶入手解決問題，也可以從先出每摞多少瓶入手解決問題，還可以……完全取決于學(xué)生觀察思考的角度。這些習(xí)題使學(xué)生通過自己的分析、思考，尋找一種或兩種解決問題的方法，并與同學(xué)進行交流，讓學(xué)生在不斷探索與創(chuàng)造的氣氛中發(fā)展創(chuàng)新意識。
四、具體編排
1．例1。（用乘法兩步計算解決的問題。）
呈現(xiàn)給學(xué)生一幅廣播操表演的情境圖。圖下面小精靈明明提出“3個方陣一共有多少人？”的問題。接著，顯示出學(xué)生收集數(shù)學(xué)信息和交流解決問題的方法、結(jié)果。
教學(xué)時，提出問題后，請學(xué)生觀察收集數(shù)學(xué)信息，嘗試解決問題。在這個過程中，允許學(xué)生交流意見，以達全員參與的目的。解決問題后，請學(xué)生展示自己解決問題的方法和結(jié)果，加深學(xué)生對解決問題過程和方法的理解。
2．例2。（用除法兩步計算解決的問題。）
呈現(xiàn)了團體操表演的畫面，并顯示出“這個團體操有60人表演。”的信息。例1與例2素材的選取具有連續(xù)性，讓學(xué)生在運動會的情境中解決新的問題。由此，感受知識間的聯(lián)系，提高學(xué)習(xí)興趣。
畫面下面，一位小朋友提出“每個小圈有多少人？”兩位小朋友在交流解決問題的方法。教材的呈現(xiàn)方式，意在讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、提出問題，并探討解決的方法，解決問題。這里可以更放手些，讓學(xué)生自己提出數(shù)學(xué)問題。
3．練習(xí)二十三中一些習(xí)題的說明和教學(xué)建議。
第1、3～8題，是用乘法兩步計算解決的問題。教學(xué)時，放手讓學(xué)生獨立解決問題上，在多次解決問題的過程中了解數(shù)量之間的關(guān)系，積累用乘法解決實際問題的經(jīng)驗。
第10、14～16題，是用除法兩步計算解決的問題。同時，這些問題也可以用乘法和除法兩步計算來解決。教學(xué)時，引導(dǎo)學(xué)生尋找不同的方法解決問題，并注意適時組織交流。通過交流，讓學(xué)生清楚了解每種方法中先解決什么問題，從而進一步熟悉用兩步計算解決問題的過程，提升對用兩步計算解決問題過程的理解。
第2、9題，是運用乘法和加法計算解決的問題。教學(xué)時，注意讓學(xué)生從具體情境中收集數(shù)學(xué)信息，分析數(shù)學(xué)信息數(shù)據(jù)之間的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生獨立思考確定解決問題的步驟方法，切實經(jīng)歷解決問題的過程。在解決問題后，讓學(xué)生說一說解決問題的過程，并引導(dǎo)學(xué)生比較不同的方法，了解各種方法的特點，為學(xué)生選擇簡捷的解決問題的方法打下基礎(chǔ)。
第11題，是用除法和減法兩步計算解決的問題。教學(xué)時，讓學(xué)生獨立經(jīng)歷解決問題的全過程，受到解決問題能力的訓(xùn)練。同時，借助習(xí)題中啄木鳥、青蛙吃害蟲的事例，請學(xué)生參與“你知道還有什么鳥或小動物能捕捉害蟲嗎？”問題的交流，讓學(xué)生在交流中產(chǎn)生保護益鳥益蟲、保護環(huán)境的意識。
第12題，解決購物時常遇到的實際問題。教材呈現(xiàn)給學(xué)生兩種規(guī)格的牙刷，請學(xué)生解決的問題是“買哪一種便宜？”教學(xué)時，讓學(xué)生獨立解決問題。教師巡視發(fā)現(xiàn)學(xué)生用兩步計算時，點撥：想一想，怎樣判斷哪種牙刷便宜呢？使學(xué)生選用比較單價的方式獲得答案。
第13題，用乘法和除法計算解決的問題。教材呈現(xiàn)給學(xué)生一幅小學(xué)生在租船游湖的美麗畫面。請學(xué)生解決7個小朋友“玩1個小時，每人要花多少錢？”的問題。教學(xué)時，要讓學(xué)生獨立解決問題。解決問題后，讓學(xué)生互相說一說解決問題的過程。通過“說一說”逐步培養(yǎng)學(xué)生表達解決問題的大致過程和結(jié)果的能力。
此外，教學(xué)時要充分利用教材資源，開闊學(xué)生的思維空間。例如，給學(xué)生提出新的問題：“他們?yōu)槭裁催x擇租四人船呢？”請學(xué)生討論。給學(xué)生提供解決實際問題新的機會，增加解決問題的樂趣。同時，使學(xué)生體會到生活中有許多數(shù)學(xué)問題，只要留心觀察思考，就能發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題。這樣，有利于培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察周圍事物的習(xí)慣，有利于培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力和應(yīng)用意識。
五、教學(xué)建議
1．放手讓學(xué)生主動探索解決問題的方法。
學(xué)生在二年級學(xué)習(xí)時，已經(jīng)會用表內(nèi)乘、除法以及加、減法解決簡單兩步計算的實際問題。本單元提供的需要用兩步計算解決的實際問題，選材范圍擴大了，提供的信息數(shù)據(jù)范圍擴大了。教學(xué)時，注意調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗和生活經(jīng)驗，采用獨立嘗試、討論等方式，讓學(xué)生主動探索解決問題的方法。在教學(xué)過程中，讓學(xué)生已掌握的知識技能對解決新問題產(chǎn)生積極的影響，體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性。
2．注意培養(yǎng)學(xué)生多角度觀察問題，解決問題的能力。
教材創(chuàng)設(shè)了豐富的解決問題的資源空間。教學(xué)時，立足于讓學(xué)生自主收集、理解數(shù)學(xué)信息，尋找解決問題的方法。教師注意有意識地引導(dǎo)學(xué)生從不同角度分析信息、尋找方法，對于學(xué)生合乎情理的闡述，給予積極鼓勵，激發(fā)學(xué)生探索的欲望，增強信心。不斷的引導(dǎo)和鼓勵，使學(xué)生逐步形成從多角度觀察問題的習(xí)慣，逐步提高解決問題的能力。
實踐活動：設(shè)計校園
一、教學(xué)內(nèi)容
在學(xué)生學(xué)習(xí)了位置與方向、面積等有關(guān)知識的基礎(chǔ)上，教材安排了“設(shè)計校園”的實踐活動。通過這個活動，進一步鞏固學(xué)生已學(xué)的有關(guān)知識，讓學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實際生活中的問題，培養(yǎng)學(xué)生收集、整理、分析信息的意識和能力，以及愛學(xué)校、愛家鄉(xiāng)的良好情感。教材呈現(xiàn)了這一實踐活動的四個環(huán)節(jié)。
1．調(diào)查本學(xué)校和其他學(xué)校都有什么。通過收集本學(xué)校和其他學(xué)校的信息，為重新設(shè)計校園打下基礎(chǔ)。
2．討論學(xué)校應(yīng)添設(shè)什么。從兩個角度進行的，一是根據(jù)學(xué)生自己或教師的日常需要，二是與其他學(xué)校相比較。教材中具體舉了四個例子，實際教學(xué)中的討論不必限制在這些方面，可以根據(jù)本學(xué)校的實際情況及自己的需求加以分析與設(shè)計。
3．設(shè)計新校園。這里涉及到一些需要用所學(xué)數(shù)學(xué)知識和技能解決的問題--場地面積的大小，添設(shè)項目的形狀和大小等，這些都需要學(xué)生去進行實際測量。除了教材提示的乒乓球臺是否能夠放得下的問題外，還會有其他的問題。學(xué)生要綜合調(diào)查和分析的結(jié)果，以及本校園的實際情況進行設(shè)計。
4．展示各小組的設(shè)計。組織數(shù)學(xué)實踐活動除了要使學(xué)生獲得一些初步的數(shù)學(xué)實踐活動經(jīng)驗，學(xué)習(xí)運用所學(xué)的知識和方法解決簡單問題，感受數(shù)學(xué)在日常生活中的作用之外，還有一個重要的目標就是使學(xué)生在合作與交流的過程中獲得良好的情感體驗。通過展示和交流，讓學(xué)生找到本組和其他組設(shè)計的優(yōu)缺點，使每個學(xué)生都能夠體驗到成功。
二、教學(xué)建議
1．適時進行指導(dǎo)。
這個實踐活動宜采取小組合作完成的形式，教師應(yīng)放手讓學(xué)生自己分析問題、收集信息、解決問題。但在活動中，教師應(yīng)適時進行指導(dǎo)。例如，在提出了重新設(shè)計校園這個任務(wù)之后，教師可提示學(xué)生“要解決這個問題，我們需要知道哪些信息？”在學(xué)生小組討論出設(shè)計校園的計劃后，教師應(yīng)指導(dǎo)每個小組分好記錄、測量、監(jiān)督(負責總體計劃的調(diào)整、測量)的人員，然后讓學(xué)生到室外進行實地的考察，看本組的計劃是否能夠?qū)嵭校绻荒軐嵭袘?yīng)該怎樣進行調(diào)整。在室外活動中，教師要注意檢查每個小組是否分工明確，同時監(jiān)督學(xué)生是否根據(jù)實際情況調(diào)整本組的計劃，充分體現(xiàn)出教師的指導(dǎo)作用。
2．注意評價的鼓勵性。
設(shè)計活動完成之后，請每個小組將本組的設(shè)計平面圖掛到黑板上進行展示與交流，請學(xué)生自己進行評價。例如，讓學(xué)生選出最喜歡的新校園圖，找出每幅新校園圖的優(yōu)點等等。最后教師進行總結(jié)性的評價，要注意評價的鼓勵性，使每一位學(xué)生都能體驗到成功的喜悅。
第九單元 數(shù)學(xué)廣角
一、教學(xué)目標
1．使學(xué)生會借助直觀圖，利用集合的思想方法解決簡單的實際問題。
2．使學(xué)生在解決實際問題的過程中體會等量代換的思想。
二、教學(xué)內(nèi)容
和前幾冊教材的思路相同，本冊教材除了在有關(guān)單元滲透相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法以外，還專門安排了“數(shù)學(xué)廣角”這一單元來介紹一些數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生運用這些數(shù)學(xué)思想方法來解決一些簡單的實際問題或數(shù)學(xué)問題。本單元主要是結(jié)合實際，使學(xué)生初步體會集合（例1）和等量代換（例2）兩種數(shù)學(xué)思想方法。
1．集合思想是數(shù)學(xué)中最基本的思想，甚至可以說，集合理論是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。從學(xué)生一開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，其實就已經(jīng)在運用集合的思想方法了。例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)時，把1個人、2朵花、3枝鉛筆用一條封閉的曲線圈起來表示，這樣表示出的數(shù)學(xué)概念更直觀、形象，給學(xué)生留下的印象更深刻。又如，我們學(xué)習(xí)過的分類思想和方法實際上就是集合理論的基礎(chǔ)。
本單元的例1就是借助學(xué)生熟悉的題材，滲透集合的有關(guān)思想，并利用直觀圖的方式求出兩個小組的總?cè)藬?shù)。
2．等量代換是指一個量用與它相等的量去代替，它是數(shù)學(xué)中一種基本的思想方法，也是代數(shù)思想方法的基礎(chǔ)。等量代換思想用等式的性質(zhì)來體現(xiàn)就是等式的傳遞性：如果a=b，b=c，那么a=c。
例2就是通過解決一些簡單的問題，使學(xué)生初步體會等量代換的思想方法，為以后學(xué)習(xí)簡單的代數(shù)知識做準備。
三、具體編排
1． 例1。
本例首先通過統(tǒng)計表的方式列出參加語文小組和數(shù)學(xué)小組的學(xué)生名單，通過統(tǒng)計表可以看出：參加語文小組的有8人，參加數(shù)學(xué)小組的有9人。但實際上參加這兩個課外小組的總?cè)藬?shù)卻不是17人，引起學(xué)生的認知沖突。這時，教材利用直觀圖把這兩個課外小組的關(guān)系直觀地表示出來。從圖上可以很清楚地看出，有3名學(xué)生同時屬于這兩個小組，所以計算總?cè)藬?shù)時只能計算一次。
教學(xué)時，可以先讓學(xué)生根據(jù)統(tǒng)計表說出兩個課外小組各有多少人，再說出三（1）班共有多少人參加了這兩個課外小組。在求總?cè)藬?shù)時，學(xué)生既可以直接點數(shù)，也可以進行計算。讓學(xué)生通過討論發(fā)現(xiàn)：統(tǒng)計表中的前三位學(xué)生既參加了語文小組又參加了數(shù)學(xué)小組，所以是重復(fù)的，在計算總?cè)藬?shù)時只能計算一次。接下來，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用圖示的方法表示這兩個課外小組的人員組成情況。由于學(xué)生以前沒有接觸過這種直觀圖，所以教師可以先出示一個空白圖，讓學(xué)生在不同位置填上相應(yīng)的學(xué)生姓名。也可以利用多媒體軟件先分別出示兩個課外小組的集合圈，再把兩個集合圈進行合并。接下來，可以讓學(xué)生說一說圖中不同位置所表示的不同意義，如中間部分表示同時參加兩個小組的同學(xué)，左側(cè)是只參加語文小組而不參加數(shù)學(xué)小組的學(xué)生，右側(cè)是只參加數(shù)學(xué)小組而不參加語文小組的學(xué)生。最后，再讓學(xué)生列式求出參加語文小組和數(shù)學(xué)小組的共有多少人。
2． 例2。
⑴本例利用天平的原理，使學(xué)生初步體會等量代換的思想方法，為以后學(xué)習(xí)簡單的代數(shù)知識做準備。當天平平衡時，左右兩邊的物體同樣重。所以，從第一個圖中可以看出，一個西瓜重4千克，從第二個圖中可以看出，四個蘋果重1千克，讓學(xué)生思考一個西瓜和多少個蘋果同樣重。在這里還不能直接運用等量代換，需要學(xué)生首先考慮：一個西瓜和4千克砝碼同樣重，4千克砝碼和多少個蘋果同樣重呢？引導(dǎo)學(xué)生想出如果第二個圖中天平的右邊變成原來的4倍，左邊也要變成原來的4倍（即16個蘋果），天平才能保持平衡。
教學(xué)本例之前，首先應(yīng)該向?qū)W生說明：在本例中，我們假設(shè)每個西瓜同樣重，每個蘋果同樣重。接下來，讓學(xué)生觀察前兩個圖并思考：天平保持平衡說明什么？一個西瓜和幾個蘋果同樣重？讓學(xué)生通過小組討論來尋求解決問題的方法。如果學(xué)生自己解決有困難，教師可以進行適當?shù)奶崾荆簭牡谝粋�圖中知道一個西瓜重4千克，如果能知道多少個蘋果也重4千克，問題就可以解決了。
教學(xué)時，如果學(xué)生抽象地想像有困難，可以充分利用學(xué)具、多媒體軟件等教學(xué)輔助手段，用直觀的方式幫助學(xué)生理解，如用圓片代表西瓜，用小方塊代表砝碼，用三角形片代表蘋果，通過擺學(xué)具，可以比較容易地找出相互之間的等量關(guān)系。
⑵“做一做”，利用三種小動物在蹺蹺板上保持平衡的情境進一步鞏固等量代換思想的具體應(yīng)用。要求2頭牛和多少頭羊同樣重，首先要知道2頭牛和多少頭豬同樣重，再利用豬和羊的質(zhì)量關(guān)系進行等量代換。
3．關(guān)于練習(xí)二十四中一些習(xí)題的說明和建議。
第1題，首先要求學(xué)生根據(jù)不同的性質(zhì)“會游泳的”和“會飛的”把這些動物進行分類，學(xué)生在分類的時候，可能不能一下子把既能游泳又能飛的放到中間位置，要引導(dǎo)學(xué)生明確兩個圓圈相交的部分表示什么，再進行適當?shù)恼{(diào)整。
第2題，可以引導(dǎo)學(xué)生先把兩天進的貨中重復(fù)的部分找出來，然后直接點數(shù)，或用加減法進行計算。
第3題，如果學(xué)生抽象地想像有困難，可以讓學(xué)生先用學(xué)具擺一擺。等學(xué)生用直觀的方式解決了問題以后，再嘗試抽象地推導(dǎo)一下。
第4題，是等量代換思想的一種變式練習(xí)。直接比較1只雞和1只鴨誰重一些比較困難，可以轉(zhuǎn)化為2只雞和2只鴨，或4只雞和4只鴨的比較。
第5題，是比較抽象的等量代換練習(xí)，實際上是二元、三元一次方程組的一種直觀表示法。第1小題，把第一個等式中的△用□+□+□替代，就變成了□+□+□+□=240，所以□=60，而△=□+□+□,所以等于180。第2小題，直接用等量代換的方法來解決比較困難，可以先把三個等式的左邊相加，右邊相加，可得到2×（○＋△＋□）＝200，所以○＋△＋□＝100，然后再利用等量代換，依次求出○、△、□的值。
四、教學(xué)建議
適當把握教學(xué)要求。
集合和等量代換的理論都是比較系統(tǒng)、抽象的數(shù)學(xué)思想方法，在這里，只是讓學(xué)生通過生活中容易理解的題材初步體會這兩種思想方法，為后繼學(xué)習(xí)打下必要的基礎(chǔ)，學(xué)生只要能夠用自己的方法解決問題就可以了，教學(xué)時老師不要使用集合、集合的元素、基數(shù)、交集、并集、等量代換等數(shù)學(xué)化的語言進行描述。