一題多解，發展學生的多向思維

安徽省太湖縣小池鎮中心學校 唐公卿

新課標指出：“重視發展智力，培養能力”；“要啟發學生動腦筋想問題”；“逐步培養學生能夠有條理有根據地進行思考，比較完整地敘述思考過程”。數學教學重在優化學生的思維結構，培養學生的思維品質和創新意識，促進學生思維的敏捷性和靈活性。

一題多解能克服學生的定勢思維，發展學生的多向思維，拓寬學生的解題思路；又能把各種數學知識有條理有規律地進行整合，優化解題策略，尋找最佳解題方法。

例題：甲乙兩人分別從AB兩地同時出發，相向而行。如果兩人都按原定速度，4小時相遇；現在兩人都比原計劃每小時少行1千米，那么5小時相遇。AB兩地相距多少千米？

乍一看，似曾相識卻又無從下手。認真推敲，還是有規律可循的，并且有多種解法，分析如下：

1、用假設法解：

A、從題中可知，現在兩人比原計劃每小時共少行1×2千米，假設兩人以現在的速度只行4小時，那么4小時共少行2×4千米。即行4小時后還相距8千米。而現在是用5小時行完全程，也就是說這相距的8千米是現在（5-4）小時行完的，即現在兩人每小時行8千米。這樣可列綜合算式為：1×2×4÷（5-4）×5

B、以現在的速度兩人每小時行了全程的1/5，假設只行4小時，就行了全程的4/5。又從上面的分析可知他們還相距8千米，也就是全程的（1-4/5）。又可列綜合算式為：1×2×4÷（1-4/5）

2、用工程問題解：

A、把AB兩地路程看作單位“1”。兩人原計劃每小時行全程的1/4，現在每小時行全程的1/5，按原速度行駛的路程比按現速度行駛的路程多出一個全程所作的時間是1÷（1/4-1/5）小時，又知道兩人原計劃每小時比現在每小時多行1×2千米。這樣AB兩地距離可列綜合算式為：1×2×[1÷（1/4-1/5）]

B、把AB兩地路程看作單位“1”。兩人原計劃每小時比現在每小時多行全程的（1/4-1/5），而兩人原計劃每小時比現在每小時多行1×2千米，量率對應，全程為：1×2÷（1/4-1/5）

3、用分數知識解：

A、兩人現在每小時行的路程是原計劃每小時行的路程的（1/5÷1/4=4/5），這里把兩人原計劃每小時行的路程看作單位“1”，現在每小時行的路程與原計劃每小時行的路程相差1×2千米，而現在每小時行的路程比原計劃每小時行的路程少（1-4/5），量率對應，可知原計劃每小時行1×2÷（1-4/5）千米。AB兩地距離可列綜合算式為：1×2÷（1-4/5）×4

B、兩人原計劃每小時行的路程是現在每小時行的路程的5/4，依照上面的方法類推，可知現在每小時行1×2÷（5/4-1）千米。AB兩地距離又可列綜合算式為：1×2÷（5/4-1）×5

4、用比和比例知識解：

A、兩人原計劃每小時的路程與現在每小時的路程的比是1/4：1/5=5：4，這樣可以把兩人原計劃每小時行的路程看作5份，把現在每小時行的路程看作4份，相差（5-4）份，相差1×2千米，可知每份為2千米。那么兩人原計劃每小時行2×5千米，現在每小時行2×4千米，從而可以列綜合算式為：1×2÷（5-4）×5×4或1×2÷（5-4）×4×5

B、兩人原計劃每小時行的路程與現在每小時的路程的比是5：4。

解：設AB兩地相距X千米，那么兩人原計劃每小時行X/4千米，兩人現在每小時行X/5千米，根據比相等的原則可列比例為：X/4：（1×2）＝５：（5-4）或X/5：（1×2）=4：（5-4）

5、用方程法解：

解：設AB兩地相距X千米，兩人原計劃每小時行X/4千米，兩人現在每小時行X/5千米，相差1×2千米，可列方程為：X/4-X/5=1×2

6、求最小公倍數法解：

轉換思維方式：把AB兩地可以看作一條封閉的曲線，兩人原行駛方式和現行駛方式可以看作兩種物體的運動形式。兩種物體進行一個周期性（多行一個全程）的重合，需要多長時間，也就是求4和5的最不公倍數：4×5小時，即20小時，原計劃比現在多行1×2×20千米，即AB兩地的距離。

這樣多角度思考解答，既便于溝通知識之間的內在聯系，又便于掌握解題的思路和方法。因此，在教學中，有必要強一題多解的訓練，引導學生進行解題后再思考，誘導學生從多角度、多方位去認識問題、解決問題，達到最優解題方案，鍛煉和發展學生的多向思維，從而達到培養學生智力和能力的目標。在教學中，鼓勵學生在探索中發現問題，通過師生合作學習解決問題，培養學生的自主探究意識和探究習慣，獲取多向思維的發展，使學生具有主動積極的參與精神和創新精神，使學生具有成功感和愉悅感，真正體現了教育應人為本，以促進人的個性、特長發展為目標的新理念。