參考高中數學測試題
1、．按右圖所示的流程，輸入一個數據x，根據y與x的關系式就輸出一個數據y，這樣可以將一組數據變換成另一組新的數據，要使任意一組都在20～100（含20和100）之間的數據，變換成一組新數據后能滿足下列兩個要求：
（Ⅰ）新數據都在60～100（含60和100）之間；
（Ⅱ）新數據之間的大小關系與原數據之間的大小關系一致，即原數據大的對應的新數據也較大。
（1）若y與x的關系是y＝x＋p(100－x)，請說明：當p＝時，這種變換滿足上述兩個要求；
（2）若按關系式y=a(x－h)2＋k (a>0)將數據進行變換，請寫出一個滿足上述要求的這種關系式。（不要求對關系式符合題意作說明，但要寫出關系式得出的主要過程）
解：（1）當P=時，y=x＋,即y=。
∴y隨著x的增大而增大，即P=時，滿足條件（Ⅱ）……3分
又當x=20時，y==100。而原數據都在20～100之間，所以新數據都在60～100之間，即滿足條件（Ⅰ），綜上可知，當P=時，這種變換滿足要求；……6分
（2）本題是開放性問題，答案不唯一。若所給出的關系式滿足：（a）h≤20；（b）若x=20,100時，y的對應值m，n能落在60～100之間，則這樣的關系式都符合要求。
如取h=20,y=,……8分
∵a＞0，∴當20≤x≤100時，y隨著x的增大…10分
令x=20,y=60，得k=60
①
令x=100,y=100，得a×802＋k=100 ②
由①②解得，
∴。………14分
2、（2007年常德市第26題）．如圖11，已知四邊形是菱形，是線段上的任意一點時，連接交于，過作交于，可以證明結論成立（考生不必證明）．
（1）探究：如圖12，上述條件中，若在的延長線上，其它條件不變時，其結論是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；（5分）
（2）計算：若菱形中，在直線上，且，連接交所在的直線于，過作交所在的直線于，求與的長．（7分）
（3）發現：通過上述過程，你發現在直線上時，結論還成立嗎？（1分）
解：（1）結論成立··········· 1分
證明：由已知易得
∴··················· 3分
∵FH//GC
∴············ 5分
（2）∵G在直線CD上
∴分兩種情況討論如下：
①
G在CD的延長線上時，DG=10
如圖3，過B作BQ⊥CD于Q，
由于ABCD是菱形，∠ADC=60，
∴BC=AB=6，∠BCQ=60，
∴BQ=，CQ=3
∴BG=········ 7分
又由FH//GC，可得
而三角形CFH是等邊三角形
∴BH=BC-HC=BC-FH=6-FH
∴，∴FH=
由（1）知
∴FG=·········· 9分
②
G在DC的延長線上時，CG=16
如圖4，過B作BQ⊥CG于Q，
由于ABCD是菱形，∠ADC=600，
∴BC=AB=6，∠BCQ=600，
∴BQ=，CQ=3
∴BG==14………………………………11分
又由FH//CG，可得
∴，而BH=HC-BC=FH-BC=FH-6
∴FH=
又由FH//CG，可得
∴BF=
∴FG=14+············· 12分
（3）G在DC的延長線上時，
所以成立
結合上述過程，發現G在直線CD上時，結論還成立． 13分
3、（郴州市2007年第27題）．如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，將矩形ABCD沿對角線AC平移，平移后的矩形為EFGH（A、E、C、G始終在同一條直線上），當點E與C重合時停止移動．平移中EF與BC交于點N，GH與BC的延長線交于點M，EH與DC交于點P，FG與DC的延長線交于點Q．設S表示矩形PCMH的面積，表示矩形NFQC的面積．
（1） S與相等嗎？請說明理由．
（2）設AE＝x，寫出S和x之間的函數關系式，并求出x取何值時S有最大值，最大值是多少？
（3）如圖11，連結BE，當AE為何值時，是等腰三角形．
解：（1）相等
理由是：因為四邊形ABCD、EFGH是矩形，
所以
所以 即：
（2）AB＝3，BC＝4，AC＝5，設AE＝x，則EC＝5－x，
所以，即
配方得：，所以當時，
S有最大值3
（3）當AE＝AB＝3或AE＝BE＝或AE＝3.6時，是等腰三角形（每種情況得1分）
4、（德州市2007年第23題）．（本題滿分10分）
已知：如圖14，在中，為邊上一點，，，．
（1）試說明：和都是等腰三角形；
（2）若，求的值；
（3）請你構造一個等腰梯形，使得該梯形連同它的兩條對角線得到8個等腰三角形．（標明各角的度數）
解：（1）在中，，
．··················· 1分
在與中，；
，
．
··················· 2分
．
和都是等腰三角形．4分
（2）設，則，即．·············· 6分
解得（負根舍去）．················· 8分
5、（2007年龍巖市第25題）．（14分）如圖，拋物線經過的三個頂點，已知軸，點在軸上，點在軸上，且．
（1）求拋物線的對稱軸；
（2）寫出三點的`坐標并求拋物線的解析式；
（3）探究：若點是拋物線對稱軸上且在軸下方的動點，是否存在是等腰三角形．若存在，求出所有符合條件的點坐標；不存在，請說明理由．
解：（1）拋物線的對稱軸·············· 2分
（2） ················ 5分
把點坐標代入中，解得·········· 6分
················· 7分
（3）存在符合條件的點共有3個．以下分三類情形探索．
設拋物線對稱軸與軸交于，與交于．
過點作軸于，易得，，，
①
以為腰且頂角為角的有1個：．
················ 8分
在中，
··················· 9分
②以為腰且頂角為角的有1個：．
在中， 10分
············ 11分
③以為底，頂角為角的有1個，即．
畫的垂直平分線交拋物線對稱軸于，此時平分線必過等腰的頂點．
過點作垂直軸，垂足為，顯然．
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