關于應用舉例的測試題
一、選擇題
1.飛機沿水平方向飛行，在處測得正前下方地面目標的俯角為，向前飛行米，到達處，此時測得目標的俯角為，這時飛機與地面目標的直線距離為( ).
A.米 B.米 C.米 D.米
考查目的：考查正弦定理的應用.
答案：B.
解析：如圖，在中，根據正弦定理得，解得(米).
2.某人向正東方向走，然后右轉，朝前走，結果他離出發點恰好，則的值為( ).
A. B. C.或 D.
考查目的：考查余弦定理、方程思想.
答案：C.
解析：根據余弦定理得，化簡并整理得，解得或.
3. (由2010浙江文改編)在中，角所對的邊分別為，設為的面積，滿足，則角的大小為( ).
A. B. C.或 D.或
考查目的：考查余弦定理、三角形面積公式、三角變換等基礎知識.
答案：B
解析：∵，∴根據余弦定理和三角形面積公式得，∴，.
二、填空題
4.(2008江蘇卷)在中，若，，則的最大值是 .
考查目的：考查三角形面積公式、余弦定理以及函數思想．
答案：.
解析：設，則，根據面積公式得；根據余弦定理得，∴，
由三角形三邊關系有，解得，故當時，取得最大值.
5.(2011安徽理)已知的一個內角為，并且三邊長構成公差為4的等差數列，則的面積為_______________.
考查目的'：考查余弦定理、等差數列的概念及三角形面積公式.
答案：.
解析：根據題意，可設的三邊長分別為，由得.由余弦定理得，解得(舍去)，∴
6.如圖，某炮兵陣地位于點，兩觀察所位于兩點，已知為正三角形，且，當目標出現在時，測得，則炮兵陣地與目標的距離約為 (精確到).
考查目的：考查利用正弦定理、余弦定理解決實際問題的能力.
答案：.
解析：如圖，，在中，由正弦定理得，∴.在中，，由余弦定理得
三、解答題：
7.(2007海南、寧夏)如圖，測量河對岸的塔高時，可以選與塔底在同一水平面內的兩個側點與．現測得，，并在點測得塔頂的仰角為，求塔高．
考查目的：考查正弦定理、直角三角形的邊角關系以及空間想象能力和運算求解能力.
答案：.
解析：在中，．由正弦定理得，∴.在中，．
8.(2010福建理)某港口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上. 在小艇出發時，輪船位于港口北偏西且與該港口相距海里的處，并以海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛. 假設該小船沿直線方向以海里/小時的航行速度勻速行駛，經過小時與輪船相遇.
⑴若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？
⑵假設小艇的最高航行速度只能達到海里/小時，試設計航行方案(即確定航行方向與航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由.
考查目的：考查利用直角三角形的邊角關系、余弦定理解三角形，以及綜合運用知識分析問題解決問題的能力.
答案：⑴海里/小時，⑵航行方向是北偏東，航行速度為海里/小時.
解析：(方法一)⑴設相遇時小艇航行的距離為海里，則 ，∴當時，，此時，即小艇以海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小.
⑵設小艇與輪船在處相遇，則，∴. ∵，∴，即，解得.又∵時，，故時，取得最小值，且最小值等于.
此時，在中，有，故可設計航行方案如下：航行方向是北偏東，航行速度為海里/小時，這樣，小艇能以最短時間與輪船相遇.
(方法二)⑴若相遇時小艇的航行距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向為正北方向，設小艇與輪船在處相遇. 在中，，；又，，此時，輪船航行時間，即小艇以海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小.
⑵猜想時，小艇能以最短時間與輪船在處相遇，此時.又∵，∴，解得.
據此可設計航行方案如下：航行方向為北偏東，航行速度的大小為海里/小時，這樣，小艇能以最短時間與輪船相遇. 證明如下：
如圖，由⑴得，故，且對于線段上任意點，有. 而小艇的最高航行速度只能達到海里/小時，故小艇與輪船不可能在，之間(包含)的任意位置相遇.
設，則在中，.由于從出發到相遇，輪船與小艇所需要的時間分別為和，∴，由此可得，.又∵，∴，從而，由于時，取得最小值，于是當時，取得最小值，且最小值為，故可設計航行方案如下：航行方向為北偏東，航行速度為海里/小時，小艇能以最短時間與輪船相遇.
(方法三)⑴同方法一或方法二.
⑵設小艇與輪船在處相遇，依題意得，∴.
(i)若，則由得，，∴.①當時，令，則，，當且僅當即時等號成立.
②當時，同理可得. 由①②得，當時，.
(ii)若，則.
綜合(i)(ii)可知，當時，取最小值，此時，在中，，故可設計航行方案如下：航行方向為北偏東，航行速度為海里/小時，小艇能以最短時間與輪船相遇.
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