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拋物線的定義及其標準方程教學設計案例
拋物線的定義及其標準方程教學設計
1.目標和目標解析
（１）知識目標：
理解并掌握拋物線的定義及其標準方程；會求拋物線的標準方程。
（２）能力目標：
通過“觀察”、“思考”、“探究”與“合作交流”等一系列數(shù)學活動，培養(yǎng)學生觀察、類比、分析、概括的能力以及邏輯思維的能力，使學生學會數(shù)學思考與推理，學會反思與感悟，形成良好的數(shù)學觀。并進一步感受坐標法及數(shù)形結合的思想
2.教學問題診斷
坐標法求拋物線的標準方程是本節(jié)課的重點和難點。通過合作交流，探究不同的建系方案，對比所得方程的異同，使學生認識到恰當建立坐標系的重要性，進一步感受坐標法的思想。在推導拋物線四種形式的標準方程的過程中，理解焦參數(shù) 的幾何意義；能根據(jù)條件求出拋物線的標準方程；會根據(jù)拋物線的標準方程，求出焦點坐標、準線方程.根據(jù)以上教學內(nèi)容及要求，擬定教學重、難點如下
（1）教學重點：拋物線的定義及其標準方程。
（2）教學難點：拋物線定義的形成過程及拋物線標準方程的推導
3.教學支持條件分析
新課程大力倡導積極主動、勇于探索的學習方式，為的是使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程。通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識。在本節(jié)課中，將通過適當?shù)膯栴}情景，在“實驗”、“觀察”、“思考”、“探究”與“合作交流”等一系列數(shù)學活動中，引導學生自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題。課堂上真正以學生發(fā)展為本，鼓勵學生積極參與教學活動，包括思維的參與和行為的參與；鼓勵學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學的規(guī)律和問題解決的途經(jīng)，使他們經(jīng)歷知識形成的過程。最大限度地讓學生在活動中學習，在主動中發(fā)展，在合作中增知，在交流中深入，在探究中創(chuàng)新，并達成教與學的互促互動、相得益彰的良性循環(huán)的最優(yōu)局面。
教學方法：啟導探究式
教學用具：多媒體課件
4.教學過程設計
（1）設置情景，引發(fā)探究
①課件演示：用幾何畫板設置一個直觀性問題情景，已知F是平面上一個定點， 是平面上不過點F的一條定直線，點M到定點F的距離和到定直線 的距離的比是一個常數(shù)e，改變這兩個距離大小的關系（即常數(shù)e的大小），觀察動點M的軌跡。
②學生觀察 ：兩個距離大小的變化；并追蹤：動點M得到的軌跡形狀。然后記下實驗追蹤結果。
③學生交流：當o＜e＜1時動點M得到的軌跡是橢圓；當e＞1時是雙曲線。
④引發(fā)探究：進而引發(fā)探究欲望：當e=1時，它又是什么曲線呢？
設計意圖：數(shù)學教學需要一定問題情景的支撐，恰當?shù)膯栴}情景能
激起學生的情感體驗，有利于學生學習興趣的激發(fā)，也有利于學生良好數(shù)學觀的形成。因此，在教學中，應力求通過恰當問題情景的創(chuàng)設，讓學生產(chǎn)生積極的學習心態(tài)，在具體的情景中實現(xiàn)知識的學習。上述教學設計通過信息技術設置一個直觀性問題情景，激發(fā)了學生探究的欲望，這時學生自然地產(chǎn)生了探究當動點到一定點距離與定直線距離相等（即 ）時點的軌跡到底是什么的強烈愿望。讓學生在“觀察”、“思考”、“探究”等活動中，自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題。
（2）觀察歸納，形成定義
①觀察：當e=1時，曲線上的動點滿足怎樣幾何特征？讓學生通過獨立思考和互相討論，并交流看法。針對學生的回答進行引導，把學生的思維一步步引入發(fā)現(xiàn)規(guī)律的最近區(qū)域，最終使得學生發(fā)現(xiàn)：曲線上的點到定點的距離和到一條定直線的距離相等。
②歸納：拋物線的定義
要求學生用自己的語言描述什么樣的曲線是拋物線。規(guī)范學生的語言描述，提出拋物線定義的書面文字。
定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線 的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。點F叫做拋物線的焦點，直線 叫做拋物線的準線。強調(diào)定義的中心句和關鍵詞（讓學生自己找出）。并與橢圓、雙曲線的定義進行比較。
③反思：在拋物線定義中，要注意定點F不在定直線 上。 若定點F在定直線 上，則動點的軌跡又是什么圖形呢？（此時退化為過F點且與直線 垂直的一條直線）。
④欣賞：讓同學們說一說生活中有哪些圖形是拋物線。然后教師用幻燈片播放一些典型的拋物線型標志性建筑，如中國的趙州橋，世界第一大拱橋——盧浦大橋、北京奧運會主場館的拱頂、夜色下噴水池噴出的彩色水流等，讓學生欣賞審美，陶冶情操，激發(fā)興趣。
設計意圖：由上述直觀性問題情景引出了拋物線定義，順理成章。教學中處處注重師生之間的互動，注重學生觀察、比較、分析、概括能力的培養(yǎng)，注重反思環(huán)節(jié)的落實。通過學生親身實踐、主動思維，讓學生在實踐中得到體驗，在反思中產(chǎn)生感悟，使學生學會思考并養(yǎng)成自主學習、勇于探索的良好習慣。通過讓學生動口參與教學活動，培養(yǎng)了學生自然觀察的能力和數(shù)學語言的表達能力；同時通過欣賞生活中一些拋物線型建筑，不但加強了學生對拋物線的感性認識，而且使學生受到美的享受，陶冶了情操。
（3）合作交流，導出方程
①類比：類比橢圓、雙曲線標準方程的建立過程（用屏幕顯示圖形），讓學生認真捉摸坐標系的位置特點，感悟求拋物線的方程應建立怎樣的直角坐標系最好（力求使其方程形式最簡單）。也可以幫助學生回顧初中二次函數(shù)圖象的平移變化，從而感悟到要得到拋物線的最簡方程，必須使圖象過坐標原點（可使常數(shù)項為零）；使圖象的對稱軸為x軸(或y軸)（可使方程中不含y(或x)的一次項）。
②合作：師生合作共同推導拋物線的標準方程
請學生將自己的感悟畫在紙板上。學生分兩人一組互相討論，老師展示幾組學生的建系方案，一一作出評價。
選擇正確的一個建系方案師生一起探究拋物線方程的建立。
如推導焦點F在x軸正半軸上的拋物線標準方程。
設焦點F在x軸的正半軸上，焦點F到準線L的垂線段FN的垂直平分線為y軸，設|FN|=p。
請學生口頭敘述焦點F的坐標和準線L的方程。
師生共同推導出拋物線方程：y2=2px（p>0）
指出這個方程叫做拋物線的標準方程。它表示焦點F 在x軸正半
軸上，頂點在原點的拋物線, 其準線為
③反思：建系方案的合理性。
在建立拋物線的標準方程時，以拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為一條坐標軸建立坐標系。這樣使標準方程不僅具有對稱性，而且曲線過原點，方程不含常數(shù)項，形式更為簡單，便于應用。
④探究：拋物線的標準方程的其它形式
在建立橢圓、雙曲線的標準方程時，選取不同的坐標系我們得到了不同形式的標準方程。那么拋物線的標準方程還有哪些不同形式？
讓學生分組求出其它三種形式的標準方程，師生協(xié)作，填充拋物線標準方程的分類表格
再反思：拋物線四種形式的標準方程與圖形間的對應關系及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。從前面求橢圓、雙曲線、拋物線標準方程的過程中，你是否深刻感悟到：求軌跡方程時，如何才能建立適當?shù)淖鴺讼担?/p>
設計意圖：教學過程是師生互相交流、共同參與的過程。數(shù)學通過交流，才能得以深入發(fā)展，數(shù)學思想才能變得更加清晰；通過多邊合作，又可以增強學生的合作能力與群體創(chuàng)造意識。教學中，只有在師生密切合作、共同探索的氛圍中數(shù)學交流才能得以真正實施。上述設計在探究拋物線標準方程時，通過師生的對話交流、密切合作和信息的互動，讓學生體驗合作交流探究的學習過程，并自覺地建構起拋物線標準方程的知識系統(tǒng)。
（4）練習反饋，鞏固提高
①會根據(jù)拋物線的標準方程，求出焦點坐標、準線方程
例1 已知拋物線的標準方程是 , 求它的焦點坐標和準線方程（教材例1之（1））。
變式：求下列拋物線的焦點坐標和準線方程：
⑴； ⑵ ；
感悟：你能說明二次函數(shù) 的圖象為什么是拋物線嗎？如何才能正確地求出它的焦點坐標、準線方程？
②能根據(jù)條件求出拋物線的標準方程
例2 已知拋物線的焦點是F ，求它的標準方程（教材例1之（2）） 。
變式：已知拋物線的焦點F到準線L的距離為4。根據(jù)下列條件求此拋物線的標準方程。
（1）若焦點F在y軸正半軸上；
（2）若焦點F在y軸上；
（3）若焦點F在x軸上；
（4）若焦點F在坐標軸上。
（5）焦點在直線 上（均由學生口答）
感悟：
①求給定拋物線的標準方程的基本方法是：待定系數(shù)法。關鍵是
定軸向——求p值——寫方程。（若開口方向不定，則要注意分類討論的思想。）
②在認識事物的過程中，我們不僅要善于從一些不同的事物中去發(fā)現(xiàn)它們的共同點，還要善于從一些相似的事物中去發(fā)現(xiàn)它們的不同點。
設計意圖：以課本例題為本，通過變式訓練這一環(huán)節(jié)，既讓學生鞏固和加深對拋物線及其標準方程的理解，又使學生在“練”的過程中通過反思、感悟，不斷調(diào)整自己的認識結構和經(jīng)驗結構，完成人的經(jīng)驗自主建構的過程。
（5）自我總結，提煉升華
讓學生回憶并小結、提煉本節(jié)課學習內(nèi)容：
①拋物線的定義（其本質(zhì)屬性）；
②拋物線的標準方程（注意四種形式的異同）；
③求拋物線標準方程的基本方法：待定系數(shù)法。關鍵是：定軸向——求p值——寫方程。
設計意圖：引導學生自我反饋、自我總結，并對所學知識進行提煉升華。讓學生學會學習，學會內(nèi)化知識的方法與經(jīng)驗，促進目標達成。
5.目標檢測設計
（1）書面作業(yè)：A組1（2）、（4）；4（1）（2）（必做）
補充：求經(jīng)過點p（4，-2）的拋物線的標準方程。（選做）
（2）課后探究：
① 的幾何意義是焦點到準線的距離，其實也是拋物線的定形條件。你能說出焦參數(shù) 對拋物線的開口大小有什么影響嗎？
②同學們在初中學習過二次函數(shù)，為什么二次函數(shù) 的圖象是拋物線？
設計意圖：為體現(xiàn)以學生發(fā)展為本的理念，使不同學生在數(shù)學上獲得不同的發(fā)展，本作業(yè)依一定梯度進行設計，并拋出兩個課后探究性問題，既是對本節(jié)課有關內(nèi)容的延伸、拓展，回應了本節(jié)課內(nèi)容，又是為下繼內(nèi)容作些鋪墊、畜勢，讓學生有“意尤未盡”之感。同時形成開放性學習環(huán)境，滿足了不同學生的需要，體現(xiàn)了個性化的學習，目的是努力使每一位學生都能得到成功的體驗。
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