數學數列的極限教案范文（通用10篇）

　　作為一名默默奉獻的教育工作者，往往需要進行教案編寫工作，通過教案準備可以更好地根據具體情況對教學進程做適當的必要的調整。優秀的教案都具備一些什么特點呢？下面是小編為大家整理的數學數列的極限教案范文，僅供參考，希望能夠幫助到大家。

　　數學數列的極限教案 1

　　一、教材分析

　　兩個重要極限是在學生系統學習了數列極限、函數極限以及函數極限運算法則的基礎上進行研究的，它在求函數極限中起著重要作用，也是今后研究各種基本初等函數求導公式的工具，所以兩個重要極限應重點研究。

　　二、學情分析

　　一方面，學生已經學習了有界函數和無窮小乘積的極限，他們可以通過類比的方法研究這第一個重要極限，具備了接受新知識的基礎；另一方面，學生基礎比較薄弱，對以前所學的三角函數關系、二倍角公式等運用還不夠熟練，所以現在在角的轉化上面還存在一定困難。

　　三、教學目標

　　根據以上兩點分析并結合本節教材的'特點，現把本節課的目標、重點、難點定為：

　　教學目標：

　　（1）知識與技能：使學生掌握重要極限公式的特點及其變形式，并能運用其求某些函數極限；

　　（2）過程與方法：提高學生的自學意識，培養學生類比、觀察、歸納、舉一反三等方面的能力；

　　（3）情感態度與價值觀：通過對重要極限公式的研究，培養學生主動探索、勇于發現的求知精神；養成細心觀察、認真分析、善于總結的良好思維習慣，同時激發學生的學習興趣。

　　教學重點與難點：

　　重點：重要極限公式及其變形式

　　難點：的靈活應用

　　四、教法與學法的選擇

　　本節課我是以學案為載體，采用啟發式、討論式以及講練結合的教學方法，通過問題激發學生求知欲，使學生主動參與數學實踐活動，以獨立思考和相互交流的形式，在教師的指導下發現、分析和解決問題。

　　學法上以課前自學為主要方式，在引導分析時，留出學生的思考空間，讓學生去聯想、探索，同時鼓勵學生大膽質疑，圍繞中心各抒己見，讓學生自己出題，把思路方法和需要解決的問題弄清。

　　五、教學環節的設計

　　（1）課前嘗試

　　利用學案導學，讓學生明確課前要做的作業，課堂采用的方法，需要達到的要求，在嘗試練習中，讓學生通過練習，類比，引入新課。

　　（2）課堂探究

　　通過學生探究討論得出第一個重要極限以及這個極限公式的特點，再由學生舉例說明這個重要極限類似的其他形式來認清它的結構特征，講解這個重要極限的應用時，讓學生自己嘗試舉例，從而使學生達到能夠熟練應用舉一反三的目的。

　　（3）課堂鞏固

　　學生在課堂練習中鞏固所學內容，從而提升對這一重要極限的認識。

　　（4）課后拓展

　　在課后拓展中讓學生原有的知識網絡的三角函數關系、二倍角公式和函數極限這些沒有直接關系的知識，通過這第一個重要極限及其運用牢牢地聯系在了一起。

　　數學數列的極限教案 2

　　教學目標

　　1.理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式，并能運用公式解決簡單的問題.

　　（1）正確理解等比數列的定義，了解公比的概念，明確一個數列是等比數列的限定條件，能根據定義判斷一個數列是等比數列，了解等比中項的概念；

　　（2）正確認識使用等比數列的表示法，能靈活運用通項公式求等比數列的首項、公比、項數及指定的項；

　　（3）通過通項公式認識等比數列的性質，能解決某些實際問題.

　　2.通過對等比數列的研究，逐步培養學生觀察、類比、歸納、猜想等思維品質.

　　3.通過對等比數列概念的'歸納，進一步培養學生嚴密的思維習慣，以及實事求是的科學態度.

　　教材分析

　　（1）知識結構

　　等比數列是另一個簡單常見的數列，研究內容可與等差數列類比，首先歸納出等比數列的定義，導出通項公式，進而研究圖像，又給出等比中項的概念，最后是通項公式的應用.

　　（2）重點、難點分析

　　教學重點是等比數列的定義和對通項公式的認識與應用，教學難點在于等比數列通項公式的推導和運用.

　　①與等差數列一樣，等比數列也是特殊的數列，二者有許多相同的性質，但也有明顯的區別，可根據定義與通項公式得出等比數列的特性，這些是教學的重點.

　　②雖然在等差數列的學習中曾接觸過不完全歸納法，但對學生來說仍然不熟悉；在推導過程中，需要學生有一定的觀察分析猜想能力；第一項是否成立又須補充說明，所以通項公式的推導是難點.

　　③對等差數列、等比數列的綜合研究離不開通項公式，因而通項公式的靈活運用既是重點又是難點.

　　教學建議

　　（1）建議本節課分兩課時，一節課為等比數列的概念，一節課為等比數列通項公式的應用.

　　（2）等比數列概念的引入，可給出幾個具體的例子，由學生概括這些數列的相同特征，從而得到等比數列的定義.也可將幾個等差數列和幾個等比數列混在一起給出，由學生將這些數列進行分類，有一種是按等差、等比來分的，由此對比地概括等比數列的定義.

　　（3）根據定義讓學生分析等比數列的公比不為0，以及每一項均不為0的特性，加深對概念的理解.

　　（4）對比等差數列的表示法，由學生歸納等比數列的各種表示法. 啟發學生用函數觀點認識通項公式，由通項公式的結構特征畫數列的圖象.

　　（5）由于有了等差數列的研究經驗，等比數列的研究完全可以放手讓學生自己解決，教師只需把握課堂的節奏，作為一節課的組織者出現.

　　（6）可讓學生相互出題，解題，講題，充分發揮學生的主體作用.

　　數學數列的極限教案 3

　　教學理念：數學教學是思維過程的教學，如何引導學生參與到教學過程中來，尤其是在思維上深層次的參與，是促進學生良好的認知結構，培養能力，全面提高素質的關鍵。數學教學中的探究式對培養和提高學生的自主性、能動性和創造性有著非常重要的意義。

　　設計思想：本節借助多媒體輔助手段，創設問題的情境，讓探究式教學走進課堂，保障學生的主體地位，喚醒學生的主體意識，發展學生的主體能力，塑造學生的主體人格，讓學生在參與中學會學習、學會合作、學會創新。

　　一、教材分析：

　　教學內容：

　　高中數學必修第五模塊第二章第二節，等差數列，兩課時內容，本節是第一課時，研究等差數列的定義、通項公式的推導，借助生活中豐富的典型實例，讓學生通過分析、推理、歸納等活動過程，從中了解和體驗等差數列的定義和通項公式。

　　教學地位：

　　本節是第二章的基礎，為以后學習等差數列的求和、等比數列奠定基礎，是本章的重點內容。在高考中也是重點考察內容之一，并且在實際生活中有著廣泛的應用，它起著承前啟后的作用。同時也是培養學生數學能力的良好題材。等差數列是學生探究特殊數列的開始，它對后續內容的學習，無論在知識上，還是在方法上都具有積極的意義。

　　教學重點：

　　理解等差數列概念，探索并掌握等差數列的通項公式，會用公式解決一些簡單的問題，體會等差數列與一次函數之間的關系。

　　教學難點：

　　對等差數列概念的理解及從函數、方程角度理解通項公式，概括通項公式推導過程中體現出的數學思想方法。

　　二、學習者分析：

　　高二學生已經具有一定的理性分析能力和概括能力，且對數列的知識有了初步的接觸和認識，對數學公式的運用已具備一定的技能，已經熟悉由觀察到抽象的數學活動過程，對函數、方程思想體會逐漸深刻。他們的思維正從屬于經驗性的邏輯思維向抽象思維發展，但仍需要依賴一定的具體形象的經驗材料來理解抽象的邏輯關系。

　　三、教學目標：

　　知識目標：

　　理解等差數列定義，掌握等差數列的通項公式。

　　能力目標：

　　培養學生觀察、歸納能力，在學習過程中，體會數形結合思想、歸納思想和化歸思想并加深認識；通過概念的引入與通項公式的推導，培養學生分析探索能力，增強運用公式解決實際問題的能力。

　　情感目標：

　　①通過個性化的學習增強學生的自信心和意志力。

　　②通過師生、生生的合作學習，增強學生團隊協作能力的培養，增強主動與他人合作交流的意識。

　　③體驗從特殊到一般，又到特殊的認知規律，培養學生勇于創新的科學精神。

　　四、教法和學法的分析：

　　通過探究式教學方法充分利用現實情景，盡可能的增加教學過程的趣味性、實踐性。利用多媒體課件和實例等豐富學生的學習資源，強調學生動手操作試驗和主動參與，在教師的啟發指導下，讓學生自己去分析、探索，在探索過程中研究和領悟得出的結論，從而使學生即獲得知識又發展智能的目的。

　　在學法上，引導學生多角度，多層面認識事物，學會探究。教師是學生的學習的組織者、促進著、合作者，在本節課的備課和教學過程中，為學生的`動手實踐，自主探索與合作交流的機會搭建平臺，鼓勵學生提出自己的見解，學會提出問題解決問題，通過恰當的教學方式讓學生學會自我調適，自我選擇。

　　五、教學媒體和教學技術的選用

　　多媒體計算機和幾何畫板

　　通過計算機模擬演示，使學生獲得感性知識的同時，為掌握理性知識創造條件，這樣做，可以使學生有興趣地學習，注意力也容易集中，符合教學論中的直觀性原則和可接受性原則。本節課打破傳統的一言堂的格局代之以人為本、民主、開放、特色和建立在信息網絡平臺上的現代教學格局。

　　六、教學程序：

　　(一)設置問題，引導發現形成概念w。

　　師：看大屏幕。

　　情景1(播放奧運會女子舉重場面)

　　2008年北京奧運會，女子舉重共設置7個級別，其中較輕的4個級別體重組成數列(單位：kg)：48，53，58，63

　　情景2水庫的管理員為了保證優質魚類有良好的生活環境，定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚。如果一個水庫的水位18m，自然放水每天水位下降2.5m，最低降至5m。那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數列(單位：m)18，15.5，13，10.5，8，5.5

　　情景3我國現行儲蓄制度規定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計算下一期的利息。按照單利計算本利和的公式是：本利和=本金(1+利率存期)

　　時間年初本金(元)年末本利和(元)第1年10000 10072第2年10000 10144第3年10000 10216第4年10000 10288第5年10000 10360例如，按活期存入10000元，年利率是0.72%，那么按照單利，5年內各年末本利和分別是：如下表(假設5年既不加存款也不取款，且不扣利息稅)各年末本利和(單位：元)10072，10144，10216，10288，10360

　　師：思考上述各組數據反映了什么樣的信息？

　　每行數有何共同特點？請同學們互相討論。

　　(學生紛紛議論，有的幾個人在一起商量)

　　(從宏觀上：情景1讓學生體驗成功申辦奧運會的喜悅心情，激發勇于拼搏的堅強意志；情景2讓學生認識到保護水資源，保護生態平衡的意識；情景3倡導節約意識，納稅意識。)

　　從微觀上，數學研究的對象是數，我們拋開具體的背景，從表格中抽象出一般數列。

　　48 53 58 63 18 15.5 13 10.5 8 5.5 10072 10144 10216 10288 10360

　　師：(啟發學生)你能用數學語言來描述上述數列的共同特征嗎？

　　學生1：后一項與它的前一項的差等于常數。

　　師：反例：1，3，5，6，12，這樣的數列特征和上述數列的特征一樣嗎？

　　學生1：不一樣，要加上同一個常數。

　　學生2：每一項與它的前一項的差等于同一個常數。

　　師：反例：1，3，4，5，6，7，這樣的數列特征和上述數列的特征一樣嗎？

　　學生2：不一樣，必須從第二項開始。

　　學生3：從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數。

　　(教師把學生的回答寫在黑板上，通過反例，使學生深刻理解幾組數列的共同特征：

　　= 1 GB3 ①同一個常數；= 2 GB3 ②從第二項起)

　　師：能不能用數學語言表示？

　　學生4：

　　師：等價嗎？

　　學生4：應加上(d是常數)，.

　　(讓學生充分討論，注意文字語言與數學符號語言的轉化的嚴謹性)

　　師：對式子進行變形可得。

　　這樣的數列在生活中的例子，誰能再舉幾個？

　　學生5：某劇場前8排的座位數分別是

　　52，50，48，46，44，42，40，38.

　　學生6：全國統一鞋號中成年女鞋的各種尺碼分別是

　　21，21.5，22，22.5，23，23.5，24，24.5，25

　　學生7：馬路邊的路燈，相鄰兩盞之間的距離構成的數列。

　　師：如何用數列表示？

　　學生8：設相鄰兩盞之間的距離為a，該數列為

　　a，a，a，a，……，為常數列，即常數列都具有這種特征。

　　(讓學生舉例，加深感性認識)

　　師：滿足這種特征的數列很多，我們有必要為這樣的數列取一個名字？

　　學生(共同)：等差數列。

　　師：(學生敘述，板書定義)

　　一般的，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫等差數列，d為公差，a1為數列的首相。

　　提出課題《等差數列》

　　對定義進行分析，強調：= 1 GB3 ①同一個常數；= 2 GB3 ②從第二項起。注意對概念嚴謹性的分析。

　　師：回到表格中，分別說出它們的公差。

　　學生9：依次是d=7，d=1，d=8，d=-6，d=5，d=-2.5，d=72.

　　師：在計算年末本利和的問題中求時，能不能不按本利和=本金(1+利率存期)

　　求而按數列的特征求呢？

　　學生：若能求得通項公式，問題就很好解決。

　　(再提出問題，引導發現求通項公式的必要性)

　　(二)啟發、引導推出等差數列的通項公式

　　師：把問題推廣到一般情況。若一個數列是等差數列，它的公差是d，那么數列的通項公式是什么？

　　啟發學生：(歸納、猜想)可用首相與公差表示數列中任意一項。

　　師：從第幾項開始歸納的？

　　學生10：第二項，所以n≥2。

　　數學數列的極限教案 4

　　【教學目標】

　　知識目標：正確理解等比數列的定義，了解公比的概念，明確一個數列是等比數列的限定條件，能根據定義判斷一個數列是等比數列,了解等比數列在生活中的應用。

　　能力目標：通過對等比數列概念的歸納，培養學生嚴密的思維習慣；通過對等比數列的研究，逐步培養學生觀察、類比、歸納、猜想等思維能力并進一步培養學生善于思考，解決問題的'能力。

　　情感目標：培養學生勇于探索、善于猜想的學習態度，實事求是的科學態度，調動學生的積極情感，主動參與學習，感受數學文化。

　　【教學重點】

　　等比數列定義的歸納及運用。

　　【教學難點】

　　正確理解等比數列的定義，根據定義判斷或證明某些數列是否為等比數列

　　【教學手段】

　　多媒體輔助教學

　　【教學方法】

　　啟發式和討論式相結合,類比教學.

　　【課前準備】

　　制作多媒體課件，準備一張白紙,游標卡尺。

　　【教學過程】

　　【導入】

　　復習回顧：等差數列的定義。

　　創設問題情境，三個實例激發學生學習興趣。

　　1． 利用游標卡尺測量一張紙的厚度.得數列a,2a,4a,8a,16a,32a.(a>0)

　　2．一輛汽車的售價約15萬元,年折舊率約為10%,計算該車5年后的價值。得到數列 15 ,15×0.9 ,15×0.92 ,15×0.93 …15×0.95。

　　3． 復利存款問題，月利率5%，計算10000元存入銀行1年后的本利和。得到數列10000×1.05,10000×1.052…10000×1.0512.

　　學生探究三個數列的共同點，引出等比數列的定義。

　　【新課講授】

　　由學生根據共同點及等差數列定義,自己歸納等比數列的定義，再由老師分析定義中的關鍵詞句,并啟發學生自己發現等比數列各項的限制條件：等比數列各項均不為零，公比不為零。

　　等差數列:

　　一般地,如果一個數列從第二項起,每一項減去它的前一項所得的差都等于同一個常數,那么這個數列就叫做等差數列,這個常數叫做等差數列的公差,通常用d表示.數學表達式： an+1-an=d

　　等比數列:

　　一般地,如果一個數列從第二項起,每一項與它的前一項的比都等于同一個常數,那么這個數列就叫做等比數列,這個常數叫做等比數列的公比,通常用q表示.數學表達式：

　　知曉定義的基礎上，帶領學生看書p29頁，書上前面出現的關于等比數列的實例。讓學生了解等比數列在實際生活中的應用很廣泛，要認真學好。

　　在學生對等比數列的定義有了初步了解的基礎上，講解例一。給出具體的數列，會利用定義判斷是否為等比數列。對（1）（5）兩小題著重分析.

　　數學數列的極限教案 5

　　一、教材分析

　　1、教學目標：

　　A．理解并掌握等差數列的概念；了解等差數列的通項公式的推導過程及思想；

　　B．培養學生觀察、分析、歸納、推理的能力；在領會函數與數列關系的前提下，把研究函數的方法遷移來研究數列，培養學生的知識、方法遷移能力；通過階梯性練習，提高學生分析問題和解決問題的能力。

　　C 通過對等差數列的研究，培養學生主動探索、勇于發現的求知精神；養成細心觀察、認真分析、善于總結的良好思維習慣。

　　2、教學重點和難點

　　①等差數列的概念。

　　②等差數列的通項公式的推導過程及應用。用不完全歸納法推導等差數列的通項公式。

　　二、教法分析

　　采用啟發式、討論式以及講練結合的教學方法，通過問題激發學生求知欲，使學生主動參與數學實踐活動，以獨立思考和相互交流的形式，在教師的指導下發現、分析和解決問題。

　　三、教學程序

　　本節課的教學過程由（一）復習引入（二）新課探究（三）應用例解（四）反饋練習（五）歸納小結（六）布置作業，六個教學環節構成。

　　（一）復習引入：

　　1.全國統一鞋號中成年女鞋的各種尺碼（表示鞋底長，單位是c）分別是

　　21，22，23，24，25，

　　2.某劇場前10排的座位數分別是：

　　38，40，42，44，46，48，50，52，54，56。

　　3．某長跑運動員7天里每天的訓練量（單位：）是：

　　7500，8000，8500，9000，9500，10000，10500。

　　共同特點：

　　從第2項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數。

　　（二）新課探究

　　1、給出等差數列的概念：

　　如果一個數列,從第二項開始它的每一項與前一項之差都等于同一常數，這個數列就叫等差數列, 這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d來表示。強調：

　　① “從第二項起”滿足條件；

　　②公差d一定是由后項減前項所得；

　　③公差可以是正數、負數，也可以是0。

　　2、推導等差數列的'通項公式

　　若等差數列{an }的首項是 ,公差是d, 則據其定義可得：

　　- =d 即： = +d

　　– =d 即： = +d = +2d

　　– =d 即： = +d = +3d

　　進而歸納出等差數列的通項公式：

　　= +(n-1)d

　　此時指出：

　　這種求通項公式的辦法叫不完全歸納法，這種導出公式的方法不夠嚴密，為了培養學生嚴謹的學習態度，在這里向學生介紹另外一種求數列通項公式的辦法------迭加法：

　　– =d

　　– =d

　　– =d

　　– =d

　　將這（n-1）個等式左右兩邊分別相加,就可以得到 – = (n-1) d即 = +(n-1) d

　　當n=1時，上面等式兩邊均為 ，即等式也是成立的，這表明當n∈ 時上面公式都成立，因此它就是等差數列{an }的通項公式。

　　接著舉例說明：若一個等差數列｛ ｝的首項是１，公差是２，得出這個數列的通項公式是： =1+(n-1)×2 ， 即 =2n-1 以此來鞏固等差數列通項公式運用

　　（三）應用舉例

　　這一環節是使學生通過例題和練習，增強對通項公式含義的理解以及對通項公式的運用，提高解決實際問題的能力。通過例1和例2向學生表明：要用運動變化的觀點看等差數列通項公式中的 、d、n、 這4個量之間的關系。當其中的部分量已知時，可根據該公式求出另一部分量。

　　例1 （1）求等差數列8，5，2，…的第20項；（2）-401是不是等差數列-5，-9，-13，…的項？如果是，是第幾項？

　　第二問實際上是求正整數解的問題，而關鍵是求出數列的通項公式

　　例2 在等差數列｛an｝中，已知 =10， =31，求首項 與公差d。

　　在前面例1的基礎上將例2當作練習作為對通項公式的鞏固

　　例3 梯子的最高一級寬33c，最低一級寬110c，中間還有10級，各級的寬度成等差數列。計算中間各級的寬度。

　　（四）反饋練習

　　1、小節后的練習中的第1題和第2題（要求學生在規定時間內完成）。目的：使學生熟悉通項公式，對學生進行基本技能訓練。

　　2、若數列{ } 是等差數列,若 = ，（為常數）試證明：數列{ }是等差數列

　　此題是對學生進行數列問題提高訓練，學習如何用定義證明數列問題同時強化了等差數列的概念。

　　（五）歸納小結 （由學生總結這節課的收獲）

　　1.等差數列的概念及數學表達式．

　　強調關鍵字：從第二項開始它的每一項與前一項之差都等于同一常數

　　2.等差數列的通項公式 = +(n-1) d會知三求一

　　（六）布置作業

　　必做題：課本P114 習題3.2第2，6 題

　　選做題：已知等差數列{ }的首項 = -24，從第10項開始為正數，求公差d的取值范圍。（目的：通過分層作業，提高同學們的求知欲和滿足不同層次的學生需求）

　　四、板書設計

　　在板書中突出本節重點，將強調的地方如定義中，“從第二項起”及“同一常數”等幾個字用紅色粉筆標注，同時給學生留有作題的地方，整個板書充分體現了精講多練的教學方法。

　　數學數列的極限教案 6

　　一、課前檢測

　　1.在數列{an}中，an=1n+1+2n+1++nn+1，又bn=2anan+1，求數列{bn}的前n項的和.

　　解：由已知得：an=1n+1(1+2+3++n)=n2，

　　bn=2n2n+12=8(1n-1n+1) 數列{bn}的前n項和為

　　Sn=8[(1-12)+(12-13)+(13-14)++(1n-1n+1)]=8(1-1n+1)=8nn+1.

　　2.已知在各項不為零的數列 中，

　　(1)求數列 的通項;

　　(2)若數列 滿數列 的前 項的和為 ，求

　　二、知識梳理

　　(一)前n項和公式Sn的定義：Sn=a1+a2+an。

　　(二)數列求和的方法(共8種)

　　5.錯位相減法：適用于差比數列(如果 等差， 等比，那么 叫做差比數列)即把每一項都乘以 的公比 ，向后錯一項，再對應同次項相減，轉化為等比數列求和。

　　如：等比數列的前n項和就是用此法推導的.

　　解讀：

　　6.累加(乘)法

　　解讀：

　　7.并項求和法：一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和.

　　形如an=(-1)nf(n)類型，可采用兩項合并求。

　　解讀：

　　8.其它方法：歸納、猜想、證明;周期數列的求和等等。

　　解讀：

　　三、典型例題分析

　　題型1 錯位相減法

　　例1 求數列 前n項的和.

　　解：由題可知{ }的通項是等差數列{2n}的通項與等比數列{ }的通項之積

　　設 ①

　　② (設制錯位)

　　①-②得 (錯位相減)

　　變式訓練1 (2010昌平模擬)設數列{an}滿足a1+3a2+32a3++3n-1an=n3，nN*.

　　(1)求數列{an}的通項公式;

　　(2)設bn=nan，求數列{bn}的前n項和Sn.

　　解：(1)∵a1+3a2+32a3++3n-1an=n3， ①

　　當n2時，a1+3a2+32a3++3n-2an-1=n-13. ②

　　①-②得3n-1an=13，an=13n.

　　在①中，令n=1，得a1=13，適合an=13n， an=13n.

　　(2)∵bn=nan，bn=n3n.

　　Sn=3+232+333++n 3n， ③

　　3Sn=32+233+334++n 3n+1. ④

　　④-③得2Sn=n 3n+1-(3+32+33++3n)，

　　即2Sn=n 3n+1-3(1-3n)1-3， Sn=(2n-1)3n+14+34.

　　小結與拓展：

　　題型2 并項求和法

　　例2 求 =1002-992+982-972++22-12

　　解： =1002-992+982-972++22-12=(100+ 99)+(98+97)++(2+1)=5050.

　　變式訓練2 數列{(-1)nn}的前2010項的和S2 010為( D )

　　A.-2010 B.-1005 C.2010 D.1005

　　解：S2 010=-1+2-3+4-5++2 008-2 009+2 010

　　=(2-1)+(4-3)+(6-5)++(2 010-2 009)=1 005.

　　小結與拓展：

　　題型3 累加(乘)法及其它方法：歸納、猜想、證明;周期數列的求和等等

　　例3 (1)求 之和.

　　(2)已知各項均為正數的`數列{an}的前n項的乘積等于Tn= (nN*)，

　　則數列{bn}的前n項和Sn中最大的一項是( D )

　　A.S6 B.S5 C.S4 D.S3

　　解：(1)由于 (找通項及特征)

　　(2)D.

　　變式訓練3 (1)(2009福州八中)已知數列 則 , 。答案：100. 5000。

　　(2)數列 中， ，且 ，則前2010項的和等于( A )

　　A.1005 B.2010 C.1 D.0

　　小結與拓展：

　　四、歸納與總結(以學生為主，師生共同完成)

　　以上一個8種方法雖然各有其特點，但總的原則是要善于改變原數列的形式結構，使其能進行消項處理或能使用等差數列或等比數列的求和公式以及其它已知的基本求和公式來解決，只要很好地把握這一規律，就能使數列求和化難為易，迎刃而解。

　　數學數列的極限教案 7

　　一、教學內容分析

　　本節課是《普通高中課程標準實驗教科書·數學5》（人教版）第二章數列第二節等差數列第一課時。

　　數列是高中數學重要內容之一，它不僅有著廣泛的實際應用，而且起著承前啟后的作用。一方面，數列作為一種特殊的函數與函數思想密不可分；另一方面，學習數列也為進一步學習數列的極限等內容做好準備。而等差數列是在學生學習了數列的有關概念和給出數列的兩種方法——通項公式和遞推公式的基礎上，對數列的知識進一步深入和拓廣。同時等差數列也為今后學習等比數列提供了“聯想”、“類比”的思想方法。

　　二、學生學習情況分析

　　教學內容針對的是高二的學生，經過高中一年的學習，大部分學生知識經驗已較為豐富，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力，但也可能有一部分學生的基礎較弱，所以在授課時要從具體的生活實例出發，使學生產生學習的興趣，注重引導、啟發學生的積極主動的去學習數學，從而促進思維能力的進一步提高。

　　三、設計思想

　　1、教法

　　⑴誘導思維法：這種方法有利于學生對知識進行主動建構；有利于突出重點，突破難點；有利于調動學生的主動性和積極性，發揮其創造性。

　　⑵分組討論法：有利于學生進行交流，及時發現問題，解決問題，調動學生的積極性。

　　⑶講練結合法：可以及時鞏固所學內容，抓住重點，突破難點。

　　2、學法

　　引導學生首先從四個現實問題（數數問題、女子舉重獎項設置問題、水庫水位問題、儲蓄問題）概括出數組特點并抽象出等差數列的概念；接著就等差數列概念的特點，推導出等差數列的通項公式；可以對各種能力的同學引導認識多元的推導思維方法。

　　用多種方法對等差數列的通項公式進行推導。

　　在引導分析時，留出“空白”，讓學生去聯想、探索，同時鼓勵學生大膽質疑，圍繞中心各抒己見，把思路方法和需要解決的問題弄清。

　　四、教學目標

　　通過本節課的學習使學生能理解并掌握等差數列的概念，能用定義判斷一個數列是否為等差數列，引導學生了解等差數列的通項公式的推導過程及思想，掌握等差數列的通項公式與前n項和公式，并能解決簡單的實際問題；并在此過程中培養學生觀察、分析、歸納、推理的能力，在領會函數與數列關系的前提下，把研究函數的方法遷移來研究數列，培養學生的知識、方法遷移能力。

　　五、教學重點與難點

　　重點：

　　①等差數列的`概念。

　　②等差數列的通項公式的推導過程及應用。

　　難點：

　　①理解等差數列“等差”的特點及通項公式的含義。

　　②理解等差數列是一種函數模型。

　　關鍵：

　　等差數列概念的理解及由此得到的“性質”的方法。

　　六、教學過程

　　教學環節情境設計和學習任務學生活動設計意圖創設情景在南北朝時期《張邱建算經》中，有一道題“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中間三人未到者，亦依等次更給，問各得金幾何，及未到三人復應得金幾何“。

　　這個問題該怎樣解決呢？傾聽課堂引入探索研究由學生觀察分析并得出答案：

　　在現實生活中，我們經常這樣數數，從0開始，每隔5數一次，可以得到數列：0，5，___，___，___，___，…

　　水庫的管理人員為了保證優質魚類有良好的生活環境，用定期放水清理水庫的雜魚。如果一個水庫的水位為18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數列（單位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5觀察分析，發表各自的意見引向課題發現規律思考：同學們觀察一下上面的這兩個數列：

　　0，5，10，15，20，…… ①

　　18，15.5，13，10.5，8，5.5 ②

　　看這些數列有什么共同特點呢？觀察分析并得出答案：

　　引導學生觀察相鄰兩項間的關系，得到：

　　對于數列①，從第2項起，每一項與前一項的差都等于5；

　　對于數列②，從第2項起，每一項與前一項的差都等于-2.5；

　　由學生歸納和概括出，以上兩個數列從第2項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數（即：每個都具有相鄰兩項差為同一個常數的特點）。通過分析，激發學生學習的探究知識的興趣，引導揭示數列的共性特點。

　　總結提高[等差數列的概念]

　　對于以上幾組數列我們稱它們為等差數列。請同學們根據我們剛才分析等差數列的特征，嘗試著給等差數列下個定義：

　　等差數列：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列。

　　這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示。那么對于以上兩組等差數列，它們的公差依次是5，5，-2.5。學生認真閱讀課本相關概念，找出關鍵字。通過學生自己閱讀課本，找出關鍵字，提高學生的閱讀水平和思維概括能力，學會抓重點。提問：如果在與中間插入一個數A，使，A，成等差數列數列，那么A應滿足什么條件？由學生回答：因為a，A，b組成了一個等差數列，那么由定義可以知道：A-a=b-A

　　所以就有讓學生參與到知識的形成過程中，獲得數學學習的成就感。由三個數a，A，b組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列，這時，A叫做a與b的等差中項。

　　不難發現，在一個等差數列中，從第2項起，每一項（有窮數列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項。

　　如數列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中項，1和9的等差中項。

　　9是7和11的等差中項，5和13的等差中項。

　　看來，從而可得在一等差數列中，若m+n=p+q

　　則深入探究，得到更一般化的結論引領學習更深入的探究，提高學生的學習水平。

　　總結提高[等差數列的通項公式]

　　對于以上的等差數列，我們能不能用通項公式將它們表示出來呢？這是我們接下來要學習的內容。

　　我們是通過研究數列的第n項與序號n之間的關系去寫出數列的通項公式的。下面由同學們根據通項公式的定義，寫出這三組等差數列的通項公式。由學生經過分析寫出通項公式：

　　數學數列的極限教案 8

　　[教學目標]

　　1.知識與技能目標：掌握等差數列的概念;理解等差數列的通項公式的推導過程;了解等差數列的函數特征;能用等差數列的通項公式解決相應的一些問題。

　　2.過程與方法目標：讓學生親身經歷“從特殊入手，研究對象的性質，再逐步擴大到一般”這一研究過程，培養他們觀察、分析、歸納、推理的能力。通過階梯性的強化練習，培養學生分析問題解決問題的能力。

　　3.情感態度與價值觀目標：通過對等差數列的研究，培養學生主動探索、勇于發現的求索精神;使學生逐步養成細心觀察、認真分析、及時總結的'好習慣。

　　[教學重難點]

　　1.教學重點：等差數列的概念的理解，通項公式的推導及應用。

　　2.教學難點：

　　(1)對等差數列中“等差”兩字的把握;

　　(2)等差數列通項公式的推導。

　　[教學過程]

　　一、課題引入

　　創設情境引入課題：(這節課我們將學習一類特殊的數列，下面我們看這樣一些例子)

　　二、新課探究

　　(一)等差數列的定義

　　1、等差數列的定義

　　如果一個數列從第二項起，每一項與前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫等差數列。這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d來表示。

　　(1)定義中的關健詞有哪些?

　　(2)公差d是哪兩個數的差?

　　(二)等差數列的通項公式

　　探究1:等差數列的通項公式(求法一)

　　如果等差數列首項是，公差是，那么這個等差數列如何表示?呢?

　　根據等差數列的定義可得：

　　因此等差數列的通項公式就是:，

　　探究2:等差數列的通項公式(求法二)

　　根據等差數列的定義可得：

　　將以上-1個式子相加得等差數列的通項公式就是:，

　　三、應用與探索

　　例1、(1)求等差數列8，5，2，…，的第20項。

　　(2)等差數列-5，-9，-13，…，的第幾項是–401?

　　(2)、分析：要判斷-401是不是數列的項，關鍵是求出通項公式，并判斷是否存在正整數n，使得成立，實質上是要求方程的正整數解。

　　例2、在等差數列中,已知=10,=31，求首項與公差d.

　　解：由，得。

　　在應用等差數列的通項公式an=a1+(n-1)d過程中,對an,a1,n,d這四個變量,知道其中三個量就可以求余下的一個量,這是一種方程的思想。

　　鞏固練習

　　1.等差數列{an}的前三項依次為a-6，-3a-5，-10a-1,則a=()。

　　2.一張梯子最高一級寬33cm，最低一級寬110cm,中間還有10級，各級的寬度成等差數列。求公差d。

　　四、小結

　　1.等差數列的通項公式:

　　公差;

　　2.等差數列的計算問題,通常知道其中三個量就可以利用通項公式an=a1+(n-1)d,求余下的一個量;

　　3.判斷一個數列是否為等差數列只需看是否為常數即可;

　　4.利用從特殊到一般的思維去發現數學系規律或解決數學問題.

　　五、作業：

　　1、必做題：課本第40頁習題2.2第1，3，5題

　　2、選做題：如何以最快的速度求：1+2+3+???+100=

　　數學數列的極限教案 9

　　教學目標

　　1、通過教學使學生理解等比數列的概念，推導并掌握通項公式。

　　2、使學生進一步體會類比、歸納的思想，培養學生的觀察、概括能力。

　　3、培養學生勤于思考，實事求是的精神，及嚴謹的科學態度。

　　教學重點，難點

　　重點、難點是等比數列的定義的歸納及通項公式的推導。

　　教學用具

　　投影儀，多媒體軟件，電腦。

　　教學方法

　　討論、談話法。

　　教學過程

　　一、提出問題

　　給出以下幾組數列，將它們分類，說出分類標準。（幻燈片）

　　①-2，1，4，7，10，13，16，19，

　　②8，16，32，64，128，256，

　　③1，1，1，1，1，1，1，

　　④-243，81，27，9，3，1，

　　⑤31，29，27，25，23，21，19，

　　⑥1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，

　　⑦1，-10，100，-1000，10000，-100000，

　　⑧0，0，0，0，0，0，0，

　　由學生發表意見（可能按項與項之間的關系分為遞增數列、遞減數列、常數數列、擺動數列，也可能分為等差、等比兩類），統一一種分法，其中②③④⑥⑦為有共同性質的一類數列（學生看不出③的情況也無妨，得出定義后再考察③是否為等比數列）。

　　二、講解新課請學生說出數列②③④⑥⑦的共同特性，教師指出實際生活中也有許多類似的例子，如變形蟲分裂問題假設每經過一個單位時間每個變形蟲都分裂為兩個變形蟲，再假設開始有一個變形蟲，經過一個單位時間它分裂為兩個變形蟲，經過兩個單位時間就有了四個變形蟲，一直進行下去，記錄下每個單位時間的變形蟲個數得到了一列數。

　　這個數列也具有前面的幾個數列的共同特性，這是我們將要研究的`另一類數列等比數列。（這里播放變形蟲分裂的多媒體軟件的第一步）

　　判斷下列數列是否為等比數列？若是，找出公比；不是，請說明理由．

　　（1）1, 4, 16, 32．

　　（2）0, 2, 4, 6, 8.

　　（3）1,－10,100,－1000,10000．

　　（4）81, 27, 9, 3, 1.

　　（5）a, a, a, a, a.

　　講解例二，進一步熟悉定義，根據定義求數列未知項。最后的小例一為了由利

　　用定義的求解轉到利用定義證明，二為了讓學生發現等比數列隔項同號的規律。例題二

　　求出下列等比數列中的未知項:

　　（1）2, a, 8;

　　（2）-4, b, c,？

　　已知數列2, x, d, y,8．是等比數列

　　①證明數列2, d, 8.仍是等比數列．

　　②求未知項d.

　　通過兩道例題的講解，讓學生有個緩沖，做個鞏固練習。當然此練習的安排，也是為了進一步挖掘等比數列定義的本質，辨析找尋等差數列與等比數列的關系，將具體問題再推廣到一般，并要求學生理解并掌握等比數列的判斷證明方法。

　　練習

　　判斷下列數列是等差數列還是等比數列？

　　（1）22，2，1，2-1, 2-2 。

　　（2）3，34，37, 310 。

　　引申：已知數列{an}是等差數列，而bn?2n證明數列{bn}是等比數列。

　　由最后一例的證明，說明給出通項公式后可由定義判斷該數列是否為等比數列。反過來若數列已經是等比數列了，能否由定義導出數列通項公式呢？為下節課做鋪墊。

　　【課堂小結】

　　由學生通過一堂課的學習，做個簡單的歸納小結。

　　1理解。等比數列的定義，判斷或證明數列是否為等比數列要用定義判斷

　　2、等比數列公比q≠0,任意一項都不為零。

　　3、學習等比數列可以對照等差數列類比做研究。

　　【作業】

　　1、書p48. No.1,2;

　　數學數列的極限教案 10

　　教學目標

　　1．理解數列概念，了解數列和函數之間的關系

　　2．了解數列的通項公式，并會用通項公式寫出數列的任意一項

　　3．對于比較簡單的數列，會根據其前幾項寫出它的個通項公式

　　4．提高觀察、抽象的能力．

　　教學重點

　　1．理解數列概念；

　　2．用通項公式寫出數列的任意一項．

　　教學難點

　　根據一些數列的`前幾項抽象、歸納數列的通項公式．

　　教學方法

　　發現式教學法

　　教具準備

　　投影片l張(內容見下頁)

　　教學過程

　　(I)復習回顧

　　師：上節課我們學習了數列及有關定義，下面先來回顧一下上節課所學的主要內容．

　　師：[提問]上節課我們學習了哪些主要內容？

　　生：[回答]數列、項、表示形式、通項公式、數列分類等等．

　　(Ⅱ)講授新課

　　師：我們所學知識都來源于實踐，最后還要應用于生活。用其來解決一些實際問題．

　　下面同學們來看此圖：鋼管堆放示意圖(投影片)．

　　生：觀察圖片，尋其規律，建立數學模型．

　　模型一：自上而下：

　　第1層鋼管數為4；即：1 4＝1+3

　　第2層鋼管數為5；即：2 5＝2+3

　　第3層鋼管數為6；即：3 6＝3+3

　　第4層鋼管數為7；即：4 7＝4+3

　　第5層鋼管數為8；即：5 8＝5+3

　　第6層鋼管數為9；即：6 9＝6+3

　　第7層鋼管數為10；即：7 10＝7+3

　　若用 表示鋼管數，n表示層數，則可得出每一層的鋼管數為一數列，且 ≤n≤7）

　　師：同學們運用每一層的鋼筋數與其層數之間的對應規律建立了數列模型，這完全正確，運用這一關系，會很快捷地求出每一層的鋼管數。這會給我們的統計與計算帶來很多方便。

　　師：同學們再來看此圖片，是否還有其他規律可循？（啟發學生尋找規律2，建立模型二）

　　生：自上而下每一層的鋼管數都比上一層鋼管數多1。

　　即

　　依此類推： （2≤n≤7）

　　師：對于上述所求關系，若知其第1項，即可求出其他項，看來，這一關系也較為重要。

　　一、定義：

　　遞推公式：如果已知數列 的第1項（或前幾項），且任一項 與它的前一項 （或前n項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式。

　　說明：遞推公式也是給出數列的一種方法。

　　二、例題講解

　　例1：已知數列 的第1項是1，以后的各項由公式 給出，寫出這個數列的前5項。

　　分析：題中已給出 的第1項即

　　遞推公式：

　　解：據題意可知：

　　例2：已知數列 中， ≥3）

　　試寫出數列的前4項

　　解：由已知得

　　（Ⅲ）課堂練習

　　生：課本P113練習 1，2，3（書面練習）

　　（板演練習1.寫出下面各數列的前4項，根據前4項寫出該數列的一個通項公式。

　　（1） ≥2）

　　（2） ≥3）

　　師：給出答案，結合學生所做進行評析。

　　（Ⅳ）課時小結

　　師：這節課我們主要學習了數列的另一種給出方法，即遞推公式及其用法，課后注意理解。注意它與通項公式的區別在于：

　　1． 通項公式反映的是項與項數之間的關系，而遞推公式反映的是相鄰兩項（或n項）之間的關系。

　　2． 對于通項公式，只要將公式中的n依次取勝，2，3…即可得到相應的項。而遞推公式則要已知首項（或前n項），才可求得其他的項。

　　（V） 課后作業

　　一、課本P114習題3.1 3，4

　　二、預習內容：課本P114—P116

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